O'rta ma'noda yaqinlashish va sust yaqinlashish

O'rta ma'nоda yaqinlashish va sust yaqinlashish Reja O'rta ma'nоda yaqinlashish Sust yaqinlashish Tayanch so'zlar: norma, Evklid fazosi , funksiyalar ketma-ketligi O'rta ma'nоda yaqinlashish to'plamni segmentga teng deb olamiz. sinfdan olingan har bir funksiya uchun son funksiyaning normasi deyiladi va bu norma bilan belgilanadi. Har bir funksiya uchun kiritilgan son quyidagi xossalarga ega: 1. bo'lib, ~0 bo'lgandagina . 2. . 3. (uchburchak tengsizligi) 1 va 2 -munosabatlar normaning ta'rifidan bevosita ko'rinadi, 3- tengsizlik Koshi tengsizligidan kelib chiqadi. Normadan foydalanib, fazoda Evklid fazosi uchun o'rinli bo'lgan ko'pgina teoremalarni isbot etish mumkin. Tegishli xossalar quyida keltiriladi. fazoning ko'pgina xossalari o'lchamli Evklid fazosining xossalariga juda yaqin. sinfni birinchi marta nemis matematigi D. Gil'bert chuqur o'rgana boshlagan va bu fazoga chekli o'lchamli Evklid fazosi nuqtai nazaridan qaragan; shu sababli sinfni Gil'bert fazosi deb ham ataydilar. Bu fazoda ikki va funksiya orasidagi masofa tushunchasi kiritiladi. Masofa sifatida ular ayirmasining normasi qabul qilinadi, ya'ni Bu masofani odatda to'g'ri chiziq, tekislik va Evklid fazolaridagi masofa tushunchalarining umumlashgani deb ham qarash mumkin. Albatta, ikki ekvivalent funksiya bu fazoda birgina nuqta sifatida qabul qilinadi. Masofa yordamida Gil'bert fazosi nuqtalari ketma - ketligi uchun yaqinlashish tushunchasini kiritish mumkin. ta'rif. Agar uchun da bo'lsa, u holda nuqta ketma - ketlikning limiti deyiladi va yoki (1) ko'rinishda yoziladi. Bu ma'noda yaqinlashishni o'rta ma'nodagi yaqinlashish deyiladi. Normaning ta'rifiga muofiq, (1) munosabatni yana quyidagicha yozishimiz mumkin: . Agar segmentda funksiyalar ketma - ketligi funksiyaga tekis yaqinlashsa, u holda bu ketma - ketlik shu funksiyaga o'rta ma'noda ham yaqinlashadi. Haqiqatan, funksiyalar ketma - ketligining ga tekis yaqinlashishidan har qanday son hamda barcha yetarlicha katta natural sonlar uchun munosabat barcha uchun bajariladi. Bundan tengsizlik o'rinli bo'lib, funksiyalar ketma - ketligining funksiyaga o'rta ma'noda yaqinlashishi kelib chiqadi. Agar funksiyalar ketma - ketligi segmentda funksiyaga deyarli yaqinlashsa, u holda bu ketma - ketlik shu funksiyaga o'rta ma'noda yaqinlashmasligi mumkin. Masalan, funksiya barcha uchun da . Lekin O'rta ma'noda yaqinlashishga oid bir necha teoremani isbot qilamiz. 1 - teorema. O'rta ma'noda yaqinlashuvchi ketma-ketlik birgina limitga ega. Isbot: ketma-ketlik ikki turli va ~~ limitlarga ega deb faraz qilaylik, ya'ni va bo'lsin. Normaning 3- xossasidan, ya'ni uchburchak tengsizligidan foydalanib, ushbu tengsizlikni yoshimiz mumkin. Bu tengsizlikning o'ng tomoni da nolga intiladi; demak, birinchi aksiomaga muvofiq ~ yoki va funksiyalar fazoda ilgari aytganimizdek, bir nuqtagina tasvirlaydi; bu esa farazimizga zid. 2- teorema. Agar bo'lsa, u holda . Isbot: Normaning 3- xossasiga asosan tengsizliklar o'rinlidi. Bulardan tengsizlik kelib chiqadi. Bu esa teoremani isbotlaydi. Normaning bu ...