O'zgarishi chegaralangan funksiyalar

O'zgarishi chegaralangan funksiyalar Reja: 1. O'zgarishi chegaralangan funksiyalar 2. O'zgarishi chegaralangan funksiyalar ustida amallar Tayanch so'zlar: monoton funksiyala, o'lchоvli to'plam, o'lchоvli funksiya, jamlanuvchi funksiyalar,chegarlangan funksiya. O'zgarishi chegaralangan funksiyalar 1-ta'rif. segmentda aniqlangan funksiya berilgan bo'lsin Agar segmentni nuqtalar bilan ixtiyoriy n qismga bo'lganimizda nuqtalarni tanlab olishga bog'liq bo'lmagan va ushbu (1) tengsizlikni qanoatlantiradigan o'zgarmas son mavjud bo'lsa , u holda funksiya segmentda o'zgarishi chegaralangan deyiladi. Har qanday o'zgarishi chegaralangan funksiya chegaralangan funksiyadir. Haqiqatan,o'zgarishi chegaralangan bo'lgani sababli har qanday uchun Bundan va tengsizlikdan funksiyani chegaralanganligi kelib chiqadi. Odatda (1) tengsizlikni chap tamonidagi yig'indining aniq yuqori chegarasini (segmentni qismlarga turlicha bo'lishlar to'plamiga nisbatan ) bilan belgilanadi va bu sonni funksiyaning segmentdagi to'la o'zgarishi deyiladi misollar.1) segmentda aniqlangan va monoton o'suvchi funksiya chegaralangan o'zgarishga ega ,chunki uning uchun (1) ko'rinishdagi har qanday yig'indi ga teng. Shunga o'xshash segmentda aniqlangan va monoton kamayuvchi funksiya ham chegaralangan o'zgarishga ega. 2) agar biror musbat va o'zgarmas A son hamda ixtiyoriyn nuqtalari uchun tengsizlik bajarilsa, funksiya segmentda Lipshits shartini qanoatlantiruvchi deyiladi. segmentda chegaralangan va Lipshits shartini qanoatlantiruvchi funksiyaning o'zgarishi chegaralangan bo'ladi. Darhaqiqat, Lipshits shartiga muvofiq: bundan: ya'ni f ning o'zgarishi chegaralangan . endi o'zgarishi chegaralangan funksiyalarning tuzilishi va xossalarini o'rganishga o'tamiz. 1-teorema. segmentda o'zgarishi chegaralangan ikki va funksiyaning yig'indisi ,ayirmasi va ko'paytmasi ham o'zgarishi chegaralangan funksiyalar bo'ladi. Isbot. Darhaqiqat, segmentni ixtiyoriy n qismga bo'lib, tengsizliklarni yozishimiz mumkin; bu yerda :. Bundan ya'ni funksiyaning o'zgarishi chegaralanganligi bevosita kelib chiqadi. Ayirma uchun ham tearema shunga o'xshash isbotlanadi. Endi va funksiyalarning ko'paytmasini olamiz : bo'lsin ba funksiyalar o'zgarishi chegaralangan bo'lgani sababli chegaralangandir. Shuning uchun va sonlar chekli. Bu holda Bundan Ya'ni funksiyaning o'zgarishi chegaralangan . 2 - teorema. Agar bo'lsa u holda: (2) Isbot. Agar nuqta bo'lish nuqtalaridan biriga teng masalan , bo'lsa , u holda (3) Tenglik o'rinli bo'ladi. segmentini ixtiyoriy mayda qismlarga bo'lish hisobiga bu tenglikning o'ng tomonidagi yig'indini songa istagancha yaqin qilish mumkin. Shuning uchun (4) Munosabatlani yozishimiz mumkin. Ikkinchi tomondan ixhtiyoriy qislarga bo'lingan segmentni olib , qo'shimcha bo'lish nutasi kiritilsa, (1) tengsizlikning chap tomoni ortishigina mumkin. Shuning uchun bo'lish nuqtasimi yoki bo'lish nuqtasi, baribir, (3) ga muofiq quyidagi tengsizlik o'rinli: . Bu tengsizlik chap tomonining yuqori olinsa (5) tengsizlik kelib chikqadi. (4) va (5) munosabatlardan (2) tenglik kelib chiqadi. 3 - teorema. segmentda o'zzgarishi chegaralangan har qanday funksiya ikki monoton o'suvchi funksiyaning ayirxmasi sifatida yozilishi mumkin . Isbot. funksiyalarni kiritib, ularning har birining monoton o'suvchiligi ko'rsatilsa, teorema isbot etilga bo'ladi. 2- teoremaga muofiq , agar bo'lsa yani ...