O'zgarmas koeffitsientli chiziqli differensial tenglamalar

O'zgarmas koeffitsiyentli chiziqli differensial tenglamalar. Differensial tenglamalar sistemasi Reja: 1. Ikkinchi tartibli, o'zgarmas koeffitsiyentli, chiziqli differensial tenglamalar 2. Differensial tenglamalar sistemalari haqida umumiy ma'lumotlar 1. Ikkinchi tartibli, o'zgarmas koeffitsiyentli, chiziqli differensial tenglamalar Ikkinchi tartibli, o'zgarmas koeffitsiyentli, chiziqli differensial tenglama y = y + P·y + q·y = f(x) (1) ko'rinishga ega bo'lib, tenglamada P va q o'zgarmas sonlar, f(x) esa uzluksiz funksiyadir. Agar (1) tenglamada f(x) = 0 bo'lsa, u holda y + P·y + q·y = 0 (2) tenglamaga (1) tenglamaning bir jinsli tenglamasi deyiladi. Bir jinslimas (1) tenglama qaralayotganda uning mos bir jinsli (2) tenglamasi muhim ahamiyat kasb etadi. (2) tenglamaning yechimlari to'plami esa o'ziga xos xususiyatlarga egaligidan uni maxsus o'rganish maqsadga muvofiq. Dastlab, chiziqli - erkli va chiziqli bog'liq funksiyalarga to'xta-lamiz. Vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi, chiziqli erkliligi yoki chiziqli bog'liqligi tushunchalarini ixtiyoriy funksiyalarga ham yoyish mumkin. Berilgan y1(x), y2(x),, yn(x) funksiyalarning c1, c2, , cn o'zgarmas koeffitsiyentli chiziqli kombinatsiyasi deb, y(x) = c1·y1(x) + c2·y2(x) + + cn·yn(x) funksiyaga aytiladi. Agar y1(x), y2(x),, yn(x) funksiyalardan istalgan biri qolgan-larining chiziqli kombinatsiyasi shaklida ifodalanmasa, ushbu funksiya-lar sistemasiga chiziqli erkli sistema deyiladi. Aksincha, agar qaralayot-gan funksiyalardan hech bo'lmaganda biri qolganlarining chiziqli kom-binatsiyasi ko'rinishida ifodalansa, funksiyalar tizimiga chiziqli bog'liq deyiladi. Bir necha funksiyalardan iborat sistemaning chiziqli erkliligi masa-lasini aniqlash usulmridan biri Bronskiy aniqlovchisi bilan bog'liq. Ikki y1(x) va y2(x) funksiyalar tizimi uchun, Bronskiy aniqlovchisi ko'rinishga ega bo'lib, uning nafaqat elementlari, shu bilan birga o'zi ham x ning funksiyasidan iborat. Aniqlovchi xossalariga ko'ra, agar y1, y2 funksiyalar chiziqli bog'liq bo'lsa, Bronskiy aniqlovchisining kattaligi x ning barcha qiymatlarida nolga teng. Demak, agar x ning biror-bir qiymatida W(y1;y2) ≠ 0 bo'lsa, y1 va y2 funksiyalar chiziqli erklidir. Bir jinsli (2) tenglama bir necha yechimlarining har qanday chi-ziqli kombinatsiyasi uning yechimi bo'la olishini tekshirib ko'rish mum-kin. Agar ikki y1(x) va y2(x) funksiyalar (2) tenglamaning chiziqli erkli yechimlari bo'lsa, u holda ularning W(y1;y2) Bronskiy aniqlovchisi x ning hech bir qiymatida nolga teng bo'la olmaydi. Yuqoridagi mulohazalarga asoslanib, chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar nazariyasida markaziy o'rinni egallagan bir jinsli tenglamaning barcha yechimlari tuziljshi haqidagi quyidagi teoremani isbotlash mumkin. 1 - Teorema. Agar y1(x) va y2(x) funksiyalar (2) tenglamaning chiziqli erkli yechimlari bo'lsa, u holda tenglamaning har bir yechimi ularning chiziqli kombinatsiyasi ko'rinishida ifodalanishi mumkin.) (2) tenglamaning tartiblangan chiziqli erkli y1(x) va y2(x) yechimlari tizimiga uning fundamental yechimlari sistemasi deyiladi. y1(x) va y2(x) yechimlarning fundamentallik zaruriy va ham yetarli sharti W(y1;y2) ≠ 0 tengsizlikning bajarilishi hisoblanadi. Ta'rifdan foydalanib, ...