O'zgaruvchilarni ajratish (Furye) usuli

O'zgaruvchilarni ajratish (Furye) usuli Giperbolik turdagi tenglama Uchlari x=0 va x=l nuqtalarda mahkamlangan tor tebtanishi tenglamasi masalasi uchun Furye yoki o'zgaruvchilarni ajratish usulini bayon qilamiz. Bu masala quyidagi tenglamaga keladi: (1) Boshlang'ich shartlar: (2) Chegaraviy shartlar: (3) Dastlab, (1) tenglamaning xususiy yechimlarini quyidagi qorinishda qidiramiz: , (4) bu funksiyalr aynan nolga teng emas va (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin. (4) funksiyani (1) tenglama qo'yib quyidagi oddiy differensial tenglamalarga kelamiz: , (5) , (6) bu yerda . Chegaraviy shartlar quyidagicha bo'ladi: . (7) Natijada biz Shturm-Liuvill (6)-(7) masalasiga kelamiz. Bu masalaning xos sonlari: Va bu xos sonlarga quyidagi xos funksiyalar mos keladi: . bo'lganda (5) tenglama quyidagi umumiy yechimga ega: , shuning uchun funksiya har qanday va uchun (1) masalani va (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. (2)-(3) shartlarni qanoatlantiruvchi (1) masalaning yechimini qator ko'rinishida qidiramiz: (8) Agar bu qator tekis yaqunlashuvchii bo'lib, uni hadma-had ikki marta differensiallash mumkin bo'lsa, u vaqtda qator yig'indisi (1) tenglamani va (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. va doimiy koeffisiyentlarni shunday aniqlaymizki (8) qator yig'indisi (2) boshlang'ich shartlarni qanoatlantirsin, quyidagi tengliklarga kelamiz: (9) (10) (9) va (10) formulalar va funksiyalarning (0,l) intervalda sinuslar bo'yicha Furye yoyilmasini beradi. Bu yoyilmalarning koeffisiyentlari quyidagi formulalar bilan topiladi: Masala: Quyidagi masalani Furye usulida yeching. utt=uxx+u, (0 ...