Potentsiallar nazariyasi

Potentsiallar nazariyasi Reja: Ikkilangan qatlam potentsiali. Gauss integrali. Oddiy qatlam potentsiali. Tayanch tushunchalar Ikkilangan qatlam potentsiali, Gauss integrali. Agar D bo'laklari silliq S sirt bilan chegaralangan soќa bo'lib, sinfga tegishli bo'lsa, u ќolda u(x) funksiya uchun quyidagi integral tasvir o'rinli. (1) bu yerda S1 - birlik sfera, uning sirti yuzi . Bu integral ifoda maxsus ko'rinishga ega bo'lgan va matematik fizikada rol o'ynaydigan uchta integral operatorni kiritishga imkon beradi. (1) formulada va funksiyalarni mos ravishda ixtiyoriy va funksiyalar bilan almashtiramiz. Natijada x ga parametr sifatida bog'lik bo'lgan uchta integralga ega bo'lamiz. u(x) ќajm potentsiali yoki Nyuton potentsiali, ikkilangan qatlam potentsiali, esa oddiy qatlam potentsiali deyiladi. va funksiyalar bu potentsiallarning zichligi deb ataladi. Ikkilangan qatlam potentsiali. Ushbu (2) ikkilangan qatlam potentsialini tekshiramiz. Lemma. Agar zichlik S da integrallanuvchi bo'lsa, potentsial S bilan umumiy nuqtaga ega bo'lmagan ixtiyoriy chekli yoki cheksiz soќada garmonik funksiya bo'ladi. Isbot. Ќaqiqatan ќam, da barcha tartibli ќosilalarga ega va bu ќosilalarni integral ostida differensiallab ќisoblash mumkin. Bundan darќol da garmonik funksiya bo'lgani uchun ning ќam garmonikligi kelib chiqadi. x nuqta S sirtning tashqarisida yotgan ќolda ning cheksiz uzoqlashgan nuqtadagi xarakterini aniqlaymiz. Shu maqsadda ni baќolaymiz: Ushbu tengsizliklarga asosan tengsizlikni ќosil qilamiz. zichlik integrallanuvchi bo'lgani uchun oldingi tengsizlikning o'ng tomonidagi integral cheklidir. Shunday qilib, ikkilangan qatlam potentsiali S sirtdan tashqari barcha fazoda garmonik bo'lib, cheksizlikda kabi nolga intiladi. Gauss integralidan ko'rinadiki, umuman aytganda ikkilangan qatlam potentsiali x nuqta S sirtni kesib o'tganda uzulishga ega. Gauss integrali. Ikkilangan qatlam potentsialining zichligi birga teng bo'lgan ќolda, u yani (3) integral Gauss integrali deyiladi. Agar S yopiq Lyapunov sirti bo'lsa, (4) (5) tengliklar o'rinli bo'ladi. (4) formuladagi birinchi ikkita tenglik ixtiyoriy bo'laklari silliq yopiq S sirt uchun ќam tuѓri bo'ladi. Ќaqiqatan ќam, S shunday sirt bo'lib, x nuqta S ning ichida yotsin. Bu nuqtani markaz qilib, radiusli S ning ichida yotuvchi sfera chizamiz. S va sirtlar bilan chegaralangan soќada garmonik funksiya bo'lgani uchun da Demak, Agar x nuqta S sirtdan tashqarida yotgan bo'lsa, funksiya S ning ichida garmonik bo'ladi, u ќolda Endi S yopiq Lyapunov sirti bo'lib, bo'lsin. x nuqtani markaz qilib etarli kichik , radiusli sfera chizamiz. S sirtning sferadan tashqarida yotgan qismini S1 orqali, sferaning S ichidagi qismini orqali belgilab olamiz. Xosmas integralning ta'rifiga asosan (6) x nuqta S1 va sirtlar bilan chegaralangan soќadan tashqarida yotganligi uchun, bu soќada garmonik funksiya bo'ladi. U ќolda Demak, (6) ga asosan (7) bo'yicha olingan integralning qiymatini ќisoblaymiz. da bo'lgani uchun etarli kichik ...