Qator yaqinlashishining yetarli sharti

Qator yaqinlashishining yetarli sharti Reja: 1. Taqqoslash teoremasi (alomati). 2. Dalamber alomati. 3. Koshi alomati. 4. Qator yaqinlashishning integral alomati. 1. Taqqoslash teoremasi (alomati) Teorema. va qatorlar berilgan bo'lib, mavjud bo'lgan barcha n≥N lar uchun 0≤an≤bn shart bajarilsin. U holda, agar qator yaqinlashuvchi bo'lsa, qator ham yaqinlashuvchi bo'ladi va aksincha, qator uzoqlashuvchi bo'lsa, qator ham uzoqlashuvchi bo'ladi. Isboti. Oldingi mavzudan ma'lumki, qator yaqinlashuvchi bo'lsa, uning qoldig'i ham yaqinlashuvchi bo'ladi. Aytaylik, bo'lsin. U holda, n ≥ N lar uchun quyidagi tengsizlik o'rinli bo'ladi: Bundan ko'rinadiki, qatorning xususiy yig'indilari ketma-ket chegaralangan hamda barcha k ≥ N lar uchun ak ≥0 bo'lganligi sababli, oldingi mavzudagi 2-teore-maga asosan qator yaqinlashuvchi bo'ladi. U holda, qator ham yaqinlashuvchi bo'ladi. Teorema isbot bo'ldi. Misol. Quyidagi qator yaqinlashishini taqqoslash teoremasi yordamida tekshiring: Yechilishi: Ma'lumki, barcha n lar uchun qator yaqinlashuvchi bo'ladi, chunki nisbat 0 ≤ ≤ 1 da joylashgan. U holda, taqqoslash teoremasiga asosan istalgan X€R uchun berilgan qator yaqinlashuvchidir. Lemma. Hadlari musbat bo'lgan qator berilgan bo'lsin. U holda, shunday q mavjud bo'lsaki, barcha n lar uchun quyidagi (1) tengsizlik o'rinli bo'lsa, qator yaqinlashuvchi bo'ladi. Agar n lar uchun (2) bo'lsa, qator uzoqlashuvchi bo'ladi. Isboti: Agar (1) - shart bajarilsa, an+1≤q an+1≤ q2an-1≤…≤a1qn (3) bajariladi. U holda, barcha n lar uchun an≤ a1qn-1 (4) o'rinli bo'ladi. 0 ...