Qoldiqlar nazariyasi

Qoldiqlar nazariyasi REJA: 1. Funksiyaning ajralgan maxsus nuqta atrofidagi qoldig'i 2. Qutbga nisbatan funksiyaning qoldig'ini hisoblash Tayanch iboralar: Ajralgan maxsus nuqta, qutblar, muhim maxsus nuqtalar, qoldiqlar. 1. Funksiyaning ajralgan maxsus nuqta atrofidagi qoldig'i Ma'lumki, agar funksiya nuqtani o'z ichiga oluvchi biror E sohada analitik bo'lsa, u holda nuqtani o'rab olgan E ichida yotgan yopiq kontur bo'ylab olingan integral, Koshi teoremasiga muvofiq, nolga teng bo'ladi: . Agar nuqta ning ajralgan maxsus nuqtasi bo'lsa, u holda bu integral nolga teng bo'lmasligi ham mumkin. Mana shu integralning qiymatini topish talab qilinadi. nuqta funksiyaning ajralgan maxsus nuqtasi bo'lsin. U vaqtda ni halqada Loran qatoriga yoyish mumkin: Endi halqa ichida bitta silliq yopiq chiziq oliaylik, u nuqtani o'rab olsin. So'nggi qator konturda tekis yaqinlashuvchi bo'lgani uchun uni usha kontur bo'yicha hadlab integrallash mumkin. U holda Demak, (1.1) Ta'rif. Agar funksiya halqada analitik bo'lsa, shu funksiyaning ajralgan maxsus nuqtasiga nisbatan qoldig'i (chegirmasi) deb integralning qiymatiga aytiladi va (1.2) ko'rinishida yoziladi. Ba'zan qoldiqni (1.3) yoki (1.4) ko'rinishlarda ham yozadilar. (1.5) (1.5) dan qoldiqni quyidagicha ta'riflash mumkin: funksiyaning ajralgan maxsus nuqtaga nisbatan qoldig'i deb, shu funksiyaning nuqta atrofidagi Loran qatori hadining koeffitsiyentini qabul qilish mumkin. fransuzcha so'zidan olingan bo'lib qoldiq degan ma'noni beradi. 2. Qutbga nisbatan funksiyaning qoldig'ini hisoblash Agar funksiyaning nuqtada oddiy qutbi bo'lsa, atrofida ning Loran qatori ko'rinishida bo'lur edi. Buning ikki tomonini ga ko'paytirib limitga o'tsak, . Demak, u holda qoldiq (2.1) formula bilan aniqlanadi. Agar nuqta ning k-tartibli qutbi bo'lsa, qoldiq (2.2) formula bilan aniqlanadi. Agar funksiya kasr shaklda berilgan bo'lib, oddiy qutbga ega bo'lsa (u vaqtda ,, bo'lib, funksiya uchun oddiy nol), u vaqtda qoldiq (2.3) formula bilan aniqlanadi. Misol. funksiyaning qoldig'i topilsin. yechish. Bunda , bo'lgani uchun ning qutblari ning nollari, ya'ni dan iborat bo'lib, oddiy nollardir, chunki ga muvofiq: Teorema. (Qoldiqlar haqidagi asosiy teorema) Agar funksiya chiziq bilan o'ralgan E yopiq sohaning ajralgan maxsus nuqtalaridan boshqa hamma nuqtalarida analitik bo'lsa, u holda funksiyadan bo'ylab olingan integralning qiymati ichidagi barcha maxsus nuqtalarga nisbatan funksiya qoldiqlari yig'indisining ga ko'paytirilganiga teng: (2.4) Teoremaga asosan: chunki biz yopiq chiziq faqat nuqtalarni o'z ichiga olsa deb faraz qildik. Agar (2.2) da oddiy qutb bo'lsa, (2.5) bo'ladi. Agar -qutulib bo'ladigan maxsus nuqta bo'lsa (2.6) bo'ladi. Misol. hisoblansin. yechish. funksiyaning maxsus nuqtalari va bo'lgani uchun quyidagilarni topamiz: a) nuqtada 16-chizma ya'ni qutulib bo'ladigan maxsus nuqta; Demak, b) 1-tartibli qutib, chunki . Demak, Misol. integralni qoldiq (chigirma) lar yordamida hisoblansin. yechish. maxsus nuqtalar, doiraga va tegishli bo'lib, doiraga tegishli ...