Ratsional va irratsional funksiyalarni integrallash

Ratsional va irratsional funksiyalarni integrallash Reja: 1. Ratsional kasr funksiyalarni integrallash: 1). To'g'ri va noto'g'ri kasr ratsional funksiyalar haqida; 2). To'g'ri kasr ratsional funsiyalarni sodda kasrlar ko'rinishida ifodalash va ularni integrallash; 3). To'g'ri kasr ratsional funsiyalarni sodda kasrlar ko'rinishida ifodalash. 2. Ayrim irratsional funksiyalarni integrallash. 1. Ratsional kasr funksiyalarni integrallash. 1). To'g'ri va noto'g'ri kasr ratsional funksiyalar haqida. Yuqorida ko'rsatilgan integrallash usullari yordamida hamma integrallarni hisoblash mumkin deb bo'lmaydi. Shunday funksiyalar sinflari borki, ular uchun muayyan usullardan foydalanib ularni jadval integrallariga yoki integrallash usullaridan foydalanish uchun qulay holga keltirish mumkin, shunday funksiya sinflaridan ayrimlarini qaraymiz. Malumki, har qanday ratsional funksiyani ushbu ko'rinishida ifodalash mumkin, yani . Curatdagi ko'phadning darajasi maxrajdagi ko'phad darajasidan kichik, yani bo'lsa, berilgan kasrga to'g'ri kasr ratsional funksiya deyiladi. Suratdagi ko'phadning darajasi bo'lsa, noto'g'ri kasr ratsional funksiya deyiladi. Kasr noto'g'ri kasr ratsional funksiya bo'lsa, suratni maxrajga, ko'phadni ko'phadga bo'lish qoidasiga asosan bo'lib, uning butun qismini ajratib, uni butun va to'g'ri kasr ratsional funksiyaga keltirish mumkin. Masalan, noto'g'ri kasr ratsional funksiyani, kњp ќadni kњp ќadga bo'lib, ko'rinishda yozish mumkin. Umumiy holda, noto'g'ri kasr ratsional funksiya bo'lsa, uni =+ shaklda ifodalash mumkin, bu yerda butun ratsional funksiya, to'g'ri ratsional kasr funksiyadan iborat. funksiyani osongina integrallash mumkin. Shunday qilib, noto'g'ri kasr ratsional funksiyani integrallashni, to'g'ri kasr ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi. 2). To'g'ri kasr ratsional funsiyalarni sodda kasrlar ko'rinishida ifodalash va ularni integrallash yani, kvadrat uch had haqiqiy ildizga ega emas); butun son, ratsional to'g'ri kasrlarga sodda kasr ratsional funksiyalar deyiladi. (- haqiqiy sonlar). Birinchi ikki xildagi funksiyalarni osongina integrallash mumkin, yani, bњladi. Endi ushbu integralni ќisoblaymiz. Oldin xususiy hol integralni qaraylik. dan to'la kvadrat ajratib, almashtirishdan keyin quyidagini hosil qilamiz: bu yerda . Oxirgi integralda 8) jadval integralidan foydalanib, natijani hosil qilamiz. Endi integralni hisoblaymiz. shakl o'zgartirishdan foydalanib, integralni quyidagicha yozamiz. Oxirgi tenglikning o'ng tomonidagi birinchi integral bo'lib, ikkinchi integral (2) formulaga asosan, . Shunday qilib, natijaga ega bo'lamiz. Bir necha misollar qaraymiz. 1-misol. integralni hisoblang. yechish. Integral ostidagi funksiya noto'g'ri kasr ratsional funksiyadan iborat. Uning butun qismini ajratamiz: Demak, bњladi. Shunday qilib, 2-misol. integralni hisoblang. yechish. Maxrajdagi kvadrat uch haddan to'la kvadrat ajratamiz: hamda almashtirish kiritib, quyidagini hosil qilamiz: 3. To'g'ri kasr ratsional funsiyalarni sodda kasrlar ko'rinishida ifodalash. to'g'ri kasr ratsional funksiyaning maxrajini , ko'rinishda ifodalash mumkin bo'lsa, bu funksiyani yagona ko'rinishda yozish mumkin. Bunda musbat butun sonlar,, haqiqiy sonlar. lar ayrim haqiqiy sonlar. (1) tenglikka to'g'ri ratsional funksiyaning sodda kasrlar orqali yoyilmasi deyiladi. yoyilmadagi koeffitsiyentlarni topish uchun uni ...