Shartli ekstremum masalalari. Izoperimetrik masalalar

Shartli ekstremum masalalari. Izoperimetrik masalalar. Variatsion hisobning sonli usullari Reja: Shartli ekstremum masalalari. Izoperimetrik masalalar Variatsion hisobning sonli usullari Shartli ekstremum masalalari. Izoperimetrik masalalar. Izlanayotgan funksiyalarga chegaraviy shartlar bilan bir qatorda boshqa qo'shimcha shartlar ham qo'yilgan variatsion hisob masalalari shartli ekstremum masalalari deyiladi. Bir necha funksiyalarga bog'liq bo'lgan funksionalning ekstremumi haqidagi masalani o'rganamiz: (10) funksionalning (11) chegaraviy shartlarni va qo'shimcha (12) shartlarni qanoatlantiruvchi ekstremumini toping. Variatsion hisobning bu masalasi Lagranj masalasi deyiladi. Lagranj funksiyasi deb ataluvchi funksiyani tuzamiz: (13) bu yerda - ixtiyoriy funksiyalar bo'lib, ular Lagranj ko'paytuvchilari deyiladi. Lagranj masalasini yechishda (10) funksionalning ekstremumi uchun quyidagi zaruriy shartdan foydalanamiz. Teorema 3. Agar funksiyalar (11) va (12) shartlar bajarilganda (10) funksionalga ekstremum qiymat bersa, u holda shunday Lagranj ko'paytuvchilari topiladiki, bunda mos Lagranj funksiyalari funksional uchun yozilgan Eyler tenglamalari sistemasini qanoatlantiradi: . (14) 3-teorema yordamida funksionalning shartli ekstremumi haqidagi masala funksionalning (12) qo'shimcha shartlarsiz ekstremumini topish masalasiga keltiriladi. 3-teoremani qo'llash chog'ida Lagranj masalasini yechish uchun zarur bo'lgan izlanayotgan funksiyalar va , Lagranj ko'paytuvchilari (14) va (12) ko'rinishdagi ta tenglamali tenglamalar sistemasidan aniqlanadi. Misol 4. Quyidagi Lagranj masalasida funksionalga ekstremum berishi mumkin bo'lgan funksiyalarni toping: yechish. Bu masala uchun Lagranj funksiyasi ko'rinishiga ega. va funksiyalarni topish uchun, (14) ko'rinishdagi Eyler tenglamasi va tenglamalardan iborat sistemani tuzamiz. Bu sistemadan avvalo funksiyani, so'ngra funksiyani yo'qotib tenglamani tuzamiz. ni z bilan belgilaymiz: . Bu tenglamaning umumiy yechimi Bundan ketma-ket topamiz: Endi o'zgarmaslarni topish uchun quyidagi tenglamalar sistemasini tuzamiz: Bundan , yani mazkur masalada funksional funksiyalarda ekstremumga erishishi mumkin. Izoperimetrik masalalar. Chegaraviy shartlar va (15) qo'shimcha shartlar bajarilganda (10) funksionalning shartli ekstremumini topish masalasi izoperimetrik masala deyiladi. Izoh. Izoperimetrik masalada, Lagranj masalasidan farqli o'laroq, qo'shimcha shartlarga tarzidagi shart qo'yilmaydi. Bunday masala uchun Lagranj funksiyasi (16) ko'rinishda bo'ladi, bu yerda , Lagranj ko'paytuvchilari bo'lib, ular ixtiyoriy haqiqiy sonlardir. Izoperimetrik masalani yechishda ham ekstremumning zaruriy sharti mavjud bo'lib, u Lagranj masalasi uchun aytilgan 3-teoremaga o'xshaydi. Teorema 4. Agar funksiyalar (10) funksionalga (11), (15) shartlar bajarilganda ekstremum qiymat bersa, u holda shunday sonlar (Lagranj ko'paytuvchilari) topiladiki, quyidagi Eyler tenglamalar sistemasi o'rinli bo'ladi: (17) Bu yerda - (16) ko'rinishdagi Lagranj funksiyasi. 4-teoremani qo'llash chog'ida izoperimetrik masalani yechish uchun zarur bo'lgan izlanayotgan funksiyalar va Lagranj ko'paytuvchilari (17) va (15) ko'rinishidagi ta tenglamali tenglamalar sistemasidan aniqlanadi. Misol 5. Quyidagi izoperimetrik masalada funksionalga ekstremum beradigan funksiyani toping: yechish. Bu masalada Lagranj funksiyasi ko'rinishga ega. Eyler tenglamasidan yechimlarni topamiz. Lagranj ko'paytuvchisini aniqlash uchun qo'shimcha shartdan foydalanamiz, bundan ni topamiz. Shunday qilib, Eyler tenglamasining ...