Tasodifiy miqdor dispersiyasi

Tasodifiy miqdor dispеrsiyasi Qabul qilishi mumkin bo'lgan qiymatlari turlicha bo'lgan tasodifiy miqdorlarlar bir xil matematik kutilmalarga ega bo'lishi mumkin. Masalan taqsimot qonunlari bilan berilgan tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmalari teng . Shuning uchun ham yangi sonli xarakteristikalarga ehtiyoj tug'iladi. 1-ta'rif: tasodifiy miqdorning dispersiyasi deb, tasodifiy miqdorning matematik kutilmasiga aytiladi va kabi belgilanadi. (1) Agar diskret tasodifiy miqdor qiymatlarni ehtimollar bilan qabul qilsa, tasodifiy miqdor qiymatlarni ham ehtimollar bilan qabul qiladi, matematik kutilma ta'rifiga asosan: (2) formula o'rinli bo'ladi. Tasodifiy miqdor dispyeriyasini hisoblashda quyidagi teoremadan foydalanish qulay. Teorema. tasodifiy miqdor dispersiyasi uchun (3) o'rinli. Isboti. Dispyersiya ta'rifi va matematik kutilmaning xossalaridan foydalansak, Endi diskret tasodifiy miqdorlar dispyersiyalariga doir misollar qaraymiz. 1-misol. hodisaning ro'y berish ehtimoli ga teng bo'lsa, bitta tajribada hodisa ro'y berish sonining dispersiyasi topilsin. Yechish: Agar bilan bitta tajribada hodisa ro'y berish sonini belgilasak, ekanini e'tiborga olsak, (2) ga asosan Demak, . 2-misol. Binomial qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning dispersiyasi topilsin. Yechish: va bo'lganligi uchun (3) ga asosan: 3-misol. Puasson qonuni bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning dispersiyasi topilsin. Yechish: Bizga ma'lumki , va . (3) tenglikka asosan (4) bo'lgani uchun (4) dan Demak, Puasson qonuni bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi va o'rta qiymati o'zaro teng ekan. Endi uzluksiztasodifiy miqdor dispersiyasining ta'rifini beramiz. tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi bo'lsin. 2-ta'rif: uzluksiz tasodifiy miqdorning dispersiyasi deb quyidagi (5) integralning qiymatiga aytiladi. 4-misol. normal tasodifiy miqdorning dispersiyasi topilsin. Yechish: ekanini e'tiborga olsak (5) dan: almashtirishni olsak: , bo'lgani uchun Bu integralni: ko'rinishida yozib, bo'laknab integrallasak ga ega bo'lamiz. Demak, - normal tasodifiy miqdorning dispersiyasi ikkinchi parametrning kvadratiga teng ekan. 5-misol. parametrli eksponensial qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning dispersiyasi topilsin. Yechish: va bo'lganligi uchun bo'ladi. 6-misol. kesmada tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning dispersiyasi topilsin. Yechish: Bizga ma'lumki, bu holda va bo'lganligi uchun . Agar tasodifiy miqdor taqsimot funksiyaga ega bo'lsa, (7) bo'ladi. Dispyersiya ta'rifidan ko'rinadiki, tasodifiy miqdorlar dispersiyasi uning qiymatlarining o'rta qiymati atrofida tarqalish darajasini xaraktyerlaydi. Endi dispyersiyaning xossalari bilan tanishib chiqamiz. 1-xossa. O'zgarmas sonning dispersiyasi nolga teng. Isbot: Dispyersiyaning ta'rifi va matematik kutilmaning xossasiga asosan, 2-xossa. O'zgarmas sonni kvadratga oshirib, dispyersiya ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin, ya'ni Isbot: Ta'rifga asosan 3-xossa. O'zaro bog'liq bo'lmagan tasodifiy miqdorlar yig'indisining dispersiyasi bu tasodifiy miqdorlar dispyersiyalarining yig'indisiga teng, ya'ni . Isboti: Dispersiya ta'rifi va matematik kutilmaning xossasidan foydalansak: (8) va lar o'zaro bog'liq bo'lmaganligidan va lar o'zaro bog'liq emasligi kelib chiqadi: bo'ladi. Buni e'tiborga olsak, (8) dan xossanig isboti kelib chiqadi. 1-natija. Chekli sondagi o'zaro bog'liq bo'lmagan tasodifiy miqdorlar yig'indisining ...