Tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi

Tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi Bizga ma'lumki, taqsimot funksiya tasodifiy miqdorni to'la aniqlaydi, lekin ko'p hollarda taqsimot funksiya noma'lum bo'lganda kamroq ma'lumotlar ya'ni tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari bilan chegaralanishga to'g'ri keladi. Muhim sonli xarakteristikalar qatoriga matematik kutilma ham kiradi. Faraz qilaylik tasodifiy miqdor qiymatlarni ehtimollar bilan qabul qiluvchi diskret tasodifiy miqdor bo'lsin (). 1-ta'rif. diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi deb (1) ga (agar bo'lsa) aytiladi. 1-misol. hodisaning ro'y berish ehtimoli ga teng bo'lsa, bitta tajribada hodisa ro'y berish sonining matematik kutilmasi topilsin. yechish: Bitta tajribada A hodisaning ro'y berish sonini deb belgilasak, uning taqsimot qonuni ta'rifga asosan 2-misol. Binomial qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi topilsin. yechish: orqali hodisaning ta o'zaro bog'liqmas tajribalarda ro'y berish sonini belgilasak, tenglik o'rinli bo'ladi. Matematik kutilma ta'rifiga ko'ra , chunki . 3-misol. Puasson qonuni bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi topilsin. yechish: Bizga ma'lumki, , matematik kutilma ta'rifga asosan . Demak, parametrli Puasson qonuni bo'yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi parametrga teng ekan. Endi uzluksiz tasodifiy miqdor matematik kutilmasi ta'rifini keltiramiz. tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi bo'lsin. 2-ta'rif: uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi deb, (2) integralga (agar bu integral absalyut yaqinlashuvchi bo'lsa) aytiladi. 4-misol. parametrli normal qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi topilsin. yechish: (2) asosan almashtirib olib, toq funksiyadan nolga nisbatan simmetrik oraliq bo'yicha olingan integral nolga tengligini hisobga olsak Demak tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi a parametrga teng ekan. 5-misol. oraliqda tekis tasimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi topilsin. Bizga ma'lumki, (2) formulaga asosan Agar tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasi bilan berilgan bo'lsa, uning matematik kutilmasi (3) tenglik bilan aniqlanadi. Umumiy, ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi deb integralga (agar bu integral mavjud bo'lsa) aytiladi. Matematik kutilmaning geometrik ma'nosini qaraymiz, buning uchun (3) integralni quyidagi ko'rinishda ifodalaymiz: Bu ifodaning geometrik tasviri quyidagicha Barcha tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmasi mavjud bo'lavyermaydi. Bizga ma'lumki Koshi qonuni bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorlarning zichlik funksiyasi , va . o'lchovli tasodifiy vektorning matematik kutilmasi deb, ga aytiladi, bu yerda , bo'lib, esa, tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasidir. Bizga ma'lumki, ikki o'lchovli normal tasodifiy vektorning zichlik funksiyasi: va , . va , bo'ladi. Endi matematik kutilmaning xossalarini qarab chiqamiz. 1-xossa. O'zgarmas sonning matematik kutilmasi shu sonning o'ziga teng. Isbot: c o'zgarmas sonni faqat bitta c qiymatni 1 ehtimol bilan qabul qiluvchi tasodifiy miqdor deb qarash mumkin. 2-xossa. , va larning ixtiyoriy ikkitasi mavjud bo'lsa bo'ladi. Isbot. Isbotni dastlab diskret hol uchun keltiramiz. Faraz qilaylik, tasodifiy miqdor qiymatlarni mos ravishda ehtimollar bilan, tasodifiy miqdo ...