Teylor va Makloren qatorlari

Teylor va makloren qatorlari Reja: 1.Teylor qatori. 2. Makloren qatori. 3. Elementar funksiyalarni darajali qatorlarga yoyish. 1. TEYLOR QATORI f(x) funksiyani birorta darajali qatorning yig'indisi ko'rinishida ifodalashga berilgan funksiyani qatorga yoyish deb ataladi. Faraz qilaylik, f(x) funksiya biror (-R; R) oraliqda darajali qatorga yoyilgan bo'lsin: f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n+… (1) (1) qatorning koeffisiyentlari va x0 nuqtadagi hosilalarini f(x) funksiyaning qiymatlari orqali ifodalaymiz. U holda, qatorning birinchi hadi f(x0) =x0 (2) dan iborat bo'ladi. f(x) funksiya x0 nuqtada aniqlangan va shu nuqtada istalgan tartibli hosilaga ega ekanligini e'tiborga olib, ni topamiz: f'(x)=a1+2a2(x-x0)+3a3(x-x0)2+…+nan(x-x0)n-1+… (3) Bundan, x = x0 bo'lgan holda f'(x0)=a1 (4) ekanligi ko'rinadi. (3) ning ikkala tomonini differensiallab, quyidagini hosil qilamiz: (5) x = x0 bo'lganda . (6) Yuqoridagi jarayonni davom ettirsak, quyidagilar hosil bo'ladi: (7) (2), (4), (6) va (7) lardan (1)- qator koeffisiyentlarini topamiz: , , ,…, ,… (8) a0, a1, a2,… an lar Teylor koeffitsiyentlaridan iborat. Agar (8)- qatordagi a0,, a1,…an larning qiymatlari (1)- qatorga qo'yilsa, f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi Teylor qatori hosil bo'ladi: (9) f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi integral ko'rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi quyidagidan iborat: Rn (x) - qoldiq had. Bunda, . 2. MAKLOREN QATORI Faraz qilaylik, berilgan f(x) funksiya quyidagi darajali qatorga yoyilgan bo'lsin: (1) Bundagi a0, a1, a2, a3,… lar aniqmas koeffisiyentlardan iborat. Shu koeffisiyentlarni berilgan f(x) funksiya orqali ifodalaymiz. Darajali qatorni uning yaqinlashish oraligi da hadlab differensiallaymiz: Hosil bo'lgan tengliklar va (1) tenglikda x=0 deb, quyidagi a0, a1, a2, a3,… larga ega bo'lamiz: , , , , , Bu qiymatlarni (1) qatorga qo'yamiz: (2) Hosil bo'lgan (2) qatorga Makloren qatori deyiladi. formula esa qoldiq hadli Makloren formulasidir. Teylor va Makloren qatorlaridan ko'rinadiki, Makloren qatori Teylor qatorining xususiy holidan iborat bo'lib, Teylor qatoridagi x = 0 bo'lganda ikkala qator ham bir xil ko'rinishga ega bo'ladi. 3. ELEMENTAR funksiyaLARNI DARAJALI QATORLARGA YoYISh 1.f(x) =ex funksiyani x darajasi bo'yicha Makloren qatoriga yoyish. Yechilishi: ex ning hosilalarini ketma-ket topamiz va x=0 nuqtada ularning qiy-matlarini aniqlaymiz: , , , ,… x=0 bo'lganda: , , , ,… Bu qiymatlarni Makloren qatoriga qo'ysak, quyidagi qator hosil bo'ladi: 2. f(x) = sinx funksiyani Makloren qatoriga yoyish. Yechilishi: Berilgan funksiyaning hosilalarini topamiz: x =0 nuqtada ularning qiymatlarini topamiz va Makloren qatoriga qo'yamiz: 3.f(x) = cos x funksiyaning yoyilmasi. Yechilishi: f(x) = cos x funksiyaning hosilalarini topamiz: … x = 0 nuqtada topilgan hosilalarning qiymatlarini aniqlaymiz: Topilgan qiymatlarni Makloren qatoriga qo'yamiz: 4.f(x) = (1+x)k - Nyuton binomining yoyilmasi. Yechilishi: Berilgan Nyuton binomidan ketma - ket hosilalar ...