Variatsion hisobga kirish. Qadimgi masalalar

Variatsion hisobga kirish. Qadimgi masalalar Reja: Variatsion hisobga kirish. Qadimgi masalalar Variatsion hisobning asosiy tushunchalari. Eyler tenglamasi. Variatsion hisobga kirish. Qadimgi masalalar Berilgan biror funksiyaning maksimal yoki minimal qiymatlarini topish masalalari bilan bir qatorda fizika masalalarida ko'pincha funksionallar deb ataluvchi alohida turdagi miqdorlarning maksimal yoki minimal qiymatlarini topishga to'g'ri keladi. Qiymatlari bir yoki bir nechta funksiyalar yordamida aniqlanadigan o'zgaruvchi miqdorlar funksionallar deyiladi. Masalan, tekislikda berilgan va nuqtalarni tutashtiruvchi tekis (yoki fazoviy) chiziq yoyining uzunligi funksional bo'ladi. Agar chiziq tenglamasi berilgan bo'lsa, miqdor formula bilan hisoblanadi. Biror sirtning S yuzasi ham funksional bo'ladi, chunki bu yuza sirt tenglamasiga kirgan funksiyani, yani sirtni tanlash yordamida aniqlanadi. Malumki, , bu yerda D - berilgan sirtning tekislikka proyeksiyasi. Inertsiya momentlari, statik momentlar, biror bir jinsli chiziq yoki sirtning og'irlik markazi koordinatalari ham funksionallarga misol bo'ladi. Barcha misollarda biz funksionallarga xos xususiyatni ko'ramiz: funksiya (yoki vektor funksiya)ga birorta son mos qo'yiladi. Variatsion hisob fani funksionallarning maksimal yoki minimal qiymatlarini topish usullarini o'rganadi. Funksionalning maksimal yoki minimal qiymatini topish masalasi variatsion masala deyiladi. Fizika va mexanikaning ko'pgina qonunlari tasdiqlaydiki, o'rganilayotgan jarayonda biror funksional maksimum yoki minimumga erishishi lozim. Bunday hollarda bu qonunlar mexanika yoki fizikaning variatsion prinsiplari deb nomlanadi. Shunday variatsion prinsiplar qatoriga quyidagilar kiradi: eng kichik ta'sir prinsipi, energiyaning saqlanish qonuni, impulsning saqlanish qonuni, harakat miqdorining saqlanish qonuni, klassik va relyativistik maydon nazariyasining turli variatsion prinsiplari, optikadagi Ferma prinsipi va hokazo. Variatsion hisob 1696 yildan rivojlana boshladi va Leonard Eyler (1707-1783) ning tadqiqotlari natijasida mustaqil matematik fanga aylandi. Shuning uchun, L. Eylerni haqli ravishda variatsion hisobning asoschisi deb atash mumkin. Variatsion hisobning rivojlanishiga quyidagi uchta masala katta turtki bo'ldi: B r a x i s t o x r o n a haqidagi masala. 1696 yilda Iogann Bernulli matematiklar etiboriga eng tez tushish chizig'i - braxistoxrona haqidagi masalani bayon qildi. Bu masalada bitta vertikal to'g'ri chiziqda yotmaydigan berilgan A va V nuqtalarni tutashtiruvchi shunday chiziqni topish kerakki, A dan V ga tushayotgan moddiy nuqta shu chiziq bo'ylab A dan V ga eng qisqa vaqtda tushsin. Ko'rinib turibdiki, A va V nuqtalar oralig'idagi eng qisqa masofani ifodalovchi chiziq to'g'ri chiziq bo'ladi, eng qisqa vaqt chizig'i esa to'g'ri chiziq emas, chunki to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanganda harakat tezligi nisbatan sekin o'sadi; agar egri chiziqni olsak, A dan tushib kelayotgan yo'l uzunroq bo'lsada, yo'lning ko'proq qismi kattaroq tezlik bilan bosib o'tiladi. Braxistoxrona haqidagi masalaning yechimini Iogann Bernulli, Ya.Bernulli, G.Leybnits, I.Nyuton va G.Lopital topganlar. Eng tez tushish chizig'i ts i ...