Vektor funksiya. Vektor funksiya hosilasi va differensiali

Vektor funksiya. Vektor funksiya hosilasi va differensiali Reja: Skalyar argumentli vektor funksiya. Vektor funksiyaning hosilasi. O'rta qiymat haqidagi teoremalar Ferma teoremasi, Roll teoremasi Lagranj teoremasi, Koshi teoremasi 1. Skalyar argumentli vektor funksiya. Ta'rif: Agar E sohadan olingan har bir haqiqiy t songa biror qoidaga ko'ra bittadan (t) vektor mos qo'yilgan bo'lsa, E to'plamda t haqiqiy o'zgaruvchining vektor funksiyasi berilgan deyiladi. Agar R3 fazodagi bazis (,,) bo'lsa, u holda vektor funksiyani (t)=x(t) +y(t) +z(t) (10.1) ko'rinishda yozish mumkin. Bunda x(t), y(t), z(t) lar vektorning koordinata o'qlaridagi proyeksiyalaridir. Vektor funksiyaning berilishi bilan uchta skalyar funksiya x(t), y(t), z(t) larning berilishi teng kuchlidir. Agar (t) vektoring boshlang'ich nuqtasi koordinatalar boshiga joylashtirilsa (bunday vektor radius-vektor deb ataladi), u holda (t) vektor uchlarining geometrik 14-rasm o'rni vektor funksiyaning godografi deyiladi. Godografning fizik ma'nosi shundan iboratki, agar t parametr vaqt deb olinsa, (t) radius-vektorning godografi harakatdagi nuqtaning traektoriyasini bildiradi. (14-rasm) 2. Vektor funksiyaning hosilasi. Agar tt0 nuqtada x(t), y(t), z(t) funksiyalar limitga ega bo'lsa, (t) vektor funksiyaning tt0 nuqtadagi limiti (10.2) bo'ladi. Agar bo'lsa, vektor-funksiya tt0 da uzluksiz deyiladi. Endi (t) vektor-funksiyaning hosilasi haqidagi masalaga o'tamiz. vektorning boshi koordinatalar boshida deb faraz qilamiz. Bu holda (t) vektor-funksiyaning godografi parametrik ko'rinishda xx(t), yy(t), zz(t) tengliklar bilan berilgan fazoviy egri chiziqdan iborat bo'ladi. O'zgaruvchi t ning shu egri chiziqdagi M0 nuqtaga mos keladigan tt0 qiymatini olib, unga t orttirma beramiz. U vaqtda = vektorni hosil qilamiz, bu vektor egri chiziqda biror M nuqtani aniqlaydi.( 2- rasm). Vektor-funksiya orttirmasini tuzamiz va uning skalyar argument orttirmasiga nisbatini qaraymiz: 2 - rasm (10.3) Ta'rif. Agar t0 da nisbatning chekli limiti mavjud bo'lsa, u limit (t) vektor-funksiyaning tt0 nuqtadagi hosilasi deyiladi va '(t0) yoki orqali belgilanadi. (10. 4) Hosila vektorning yo'nalishini aniqlash maqsadida chizmaga e'tibor bersak, tt0 da M nuqta M0 ga, M0M kesuvchi esa urinmaga intiladi. Demak, hosila vektor parametrning o'sish tomoniga urinma bo'ylab yo'nalgan vektor bo'ladi. Ravshanki, (10.3) tenglikdan '(t0)= ekanligi, bundan esa hosilani hisoblashning asosiy qoidalari vektor-funksiyalar uchun ham o'z kuchida qolishi kelib chiqadi. Masalan: vektor-funksiyalar yig'indisining hosilasi qo'shiluvchi vektor-funksiyalar hosilalarining yig'indisiga teng. Xususan, ikki vektor-funksiyalar yig'indisi uchun (10.5) ko'rinishdagi formula o'rinlidir. Shunga o'xshash, O'zgarmas son ko'paytuvchisini hosila ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin: (10.6) Endi vektor-funksiyalarga xos amallar bilan bog'liq bo'lgan hosilani hisoblashning ba'zi qoidalarini keltiramiz. Bu qoidalarning isbotini o'quvchilarga mashq sifatida qoldiramiz. 1. Vektor-funksiyalarning skalyar ko'paytmasidan olingan hosila ushbu formula bilan ifodalanadi: (10.7) 2. Agar f(t) skalyar funksiya va (t) vektor-funksiya bo'lsa, f(t) (t) ko'paytmaning hosilasi ushbu formula bo'yicha ...