Yegorov va luzin teoremalari

Еgоrоv va luzin tеоrеmalari Reja: 1. Еgоrоv tеоrеmasi 2. Luzin tеоrеmasi Tayanch tushunchalar: o'lchovli funksiyalar ketma-ketligi, o'lchоvli to'plam, o'lchоvli funksiya Еgоrоv tеоrеmasi Lebeg va Riss teoremalariga kora o'lchov bo'yicha yaqinlashuvchi funksiyalar sinfi deyarli yaqinlashuvchi funksiyalar sinfiga qaraganda kengroq sinf ekan . Endi deyarli yaqinlashish bilan tekis yaqinlashish o'rtasidagi bog'lanishni o'rganamiz. 1-teorema: (D. F. Egorov). O'lchovli to'plamda funksiyaga deyarli yaqinlashuvchi o'lchovli funksiyalar ketma- ketligi berilgan bo'lsin. U holda har qanday uchun shunday o'lchovli to'plamni topish mumkinki, uning uchun munosabat bajarilib, bu to'plamda funksiyalar ketma-ketligi funksiyaga tekis yaqinlashadi. Isbot. Oldingi mavzudagi Lebeg teoremasini isbot qilishda ushbu munosabatni keltirib chiqargan edik, bu yerda Endi quyidagi shartlarni qanotlantiruvchi va sonlar ketma- ketliklarini tuzamiz : va qatorning yaqinlashuvchiligidan foydalanib, teoremaning shartida berilganuchun shunday natural sonni topamizki, uning uchun (1) tengsizlik bajarilsin. Quyidagi to'plamlarni tuzamiz: (1) ga asosan demak, . Agar funksiyalar ketma- ketligining da funksiyaga tekis yaqinlashishini isbot qilsak, teorema isbot etilgan bo'ladi. Endi ixtiyoriy musbat son bo'lib, bo'lsin, demak, ni shunday tanlaymizki, va bo'lsin. bo'lgani uchun bunday son mavjud. U holda Boshqacha aytganda bo'lganda Bundan ushbu munosabat va bo'lgani uchun ushbu munosabat kelib chiqadi. funksiyalar ketma- ketligining to'plamida funksiyaga tekis yaqinlashishi so'nggi munosabatdan ko'rinadi ,chunki bunda son songagina bog'liq bo'lib, ga bog'liq emas. Luzin teoremasi Funksiyalar nazariyasida uzluksiz funksiyalar sinfi g'oyat katta axamiyatga ega. Ma'lumki, har qanday uzluksiz funksiya o'lchovli funksiya bo'ladi. Endi uzluksiz funksiyalar bilan o'lchovli funksiyalar orasida (ularning tuzilishi ma'nosida) qanday munosabat bor degan savol tug'iladi. Bu savolga Luzin teoremasi javob beradi. Luzin teoremasini isbotlashdan oldin quyidagi teoremani isbotlaymiz. 2- teorema. Faraz qilaylik, to'plamlar o'zaro kesishmaydigan yopiq to'plamlar bo'lsin. Agar to'plamda aniqlangan funksiya har bir to'plamda o'zgarmas bo'lsa, u holda funksiya to'plamda uzluksiz bo'ladi. Isbot. to'plam chekli sondagi yopiq to'plamlarning yig'indisi bo'lganligi sababli yopiq to'plam bo'ladi. Bundan bo'lgan har qanday ketma-ketlik uchun munosabat kelib chiqadi. Demak , shunday topiladiki , bo'lib, to'plamlarning o'zaro kesishmaganligidan bo'lganda munosabat o'rinli bo'ladi. Bundan to'plamlarda ketma- ketlikning ko'pi bilan chekli sondagi elemetlarigina bo'lishi mumkinligi kelib chiqadi. Faraz qilaylik, bu elemetlarning eng oxirgisi bo'lsin. U holda har qanday uchun munosabatga ega bo'lamiz. U holda teorema shartiga ko'ra tenglik barcha uchun o'rinli bo'ladi. Bundan funksiyaning uzluksiz ekanligi kelib chiqadi. 3- teorema (N. N. Luzin). Agar funksiya to'plamda o'lchovli bo'lsa, u holda har qanday son uchun shunday yopiq to'plamni topish mumkinki, bu to'plamda funksiya uzluksiz va munosabat o'rinli bo'ladi. Isbot. Ushbu belgilashni kiritib, to'plamni quydagi ko'rinishda yozamiz: So'ngra munosabatdan va 6-ma'ruzadagi 6- teoremadan ushbu munosabat kelib chiqadi. Bu tenglikdan foydalanib, ...