Absolyut uzluksiz funksiyalar. Lebeg teoremasi

Absolyut uzluksiz funksiyalar. Lеbеg tеоrеmasi Reja: Absolyut uzluksiz funksiyalar Absolyut uzluksiz funksiyalar ustida amallar Tayanch so'zlar: o'lchоvli to'plam, o'lchоvli funksiya, jamlanuvchi funksiyalar, o'zgarishi chegarlangan funksiya. Absolyut uzluksiz funksiyalar Endi absolyut uzluksiz funksiyalar sinfini kiritamiz. Bu funksiyalar sinfi o'zgarishi chegaralangan funksiyalar sinfidan kengroq bo'lib, jamlanuvchi funksiyalarning aniqmas integrali bilan yaqin bog'langan. 1-ta'rif . segmentda aniqlangan funksiya berilgan bo'lsin. Agar ixtiyoriy uchun shunday mavjud bo'lsaki, soni chekli va har ikkisi o'zaro kesishmaydigan har qanday (1) segmentlar sistemasi uchun (2) shartlar bajarilganda tengsizlik o'rinli bo'lsa, u holda funksiya segmentda absolyut uzluksiz deyiladi. Ta'rifdan ravshanki, har qanday absolyut uzluksiz funksiya odatdagi ma'noda ham uzluksiz: buni ko'rsatish uchun yuqoridagi ta'rifda deb olish kifoya . Absolyut uzluksiz funksiyaga misol sifatida Lipshis shartini, ya'ni tengsizlikni qanoatlantiruvchi funksiyalarni olishimiz mumkin. Haqiqatan ham, agar segmentlar sistemasi uchun shartlar bajarilsa, u holda bo'lib, sonni deb olsak, bo'ladi. 1-teorema: Agar va funksiyalar absolyut uzluksiz bo'lsa, u holda ularning yig'indisi, ayirmasi va ko'paytmasi ham absolyut uzluksiz bo'ladi. Agar berilgan segmentda nolga teng bo'lmasa, u holda ham o'sha segmentda absolyut uzluksiz bo'ladi. Isbot: Yig'indi va ayirmaning absolyut uzluksizligi quyidagi tengsizlikdan bevosita kelib chiqadi: va lar bilan mos ravishda va larning dagi aniq yuqori chegarasini belgilab, munosabatlarni yozishimiz mumkin. Bundan esa ko'paytmaning absolyut uzluksizligi kelib chiqadi. 2-teorema: segmentdagi absolyut uzluksiz funksiya bu segmentda o'zgarishi chegaralangandir. Isbot: funksiya segmentda absolyut uzluksiz bo'lsin. U holda funksiya uchun ga mos son mavjudki, uzunliklarining yig'indisi dan kichik bo'lgan o'zaro kesishmaydigan va soni chekli intervallarning sistemasi uchun tengsizlik o'rinli. Bu son bo'yicha shunday natural son topish mumkinki, segmentni har birining uzunligi dan kichik bo'lgan ta qismga bo'lish mumkin, ya'ni va So'ngra, segment o'zaro kesishmaydigan va soni chekli qanday qismlarga bo'linmasin, quyidagi tengsizlik o'rinli bo'ladi: va demak, ya'ni ning o'zgarishi chegaralangan. Teorema isbot bo'ldi. 3-teorema: Har qanday absolyut uzluksiz funksiyani ikkita o'suvchi absolyut uzluksiz funksiyaning ayirmasi shaklida ifoda qilish mumkin: Isbot: Teoremani isbotlash uchun 2 - va 3- teoremalarga asosan va funksiyalarning absolyut uzluksizligini isbotlash kifoya. Agar ning absolyut uzluksizligini ko'rsatsak, 1 teoremaga asosan, absolyut uzluksiz bo'ladi. ning absolyut uzluksizligini isbotlaymiz. Ixtiyoriy ni olib, absolyut uzluksizligi shartidan ni topamiz. Uzunliklarining yig'indisi dan kichik bo'lgan oraliqlar olib (3) yig'indini ko'ramiz. Bu yig'indi (4) yig'indilarning yuqori chegarasiga teng, bu yerda esa oraliqlarning ixtiyoriy bo'linmasidir. Ravshanki, Barcha oraliqlarning uzunliklarini yig'indisi dan kichik bo'lgani sababli ning absolyut uzluksizlikligiga ko'ra ifoda ifadalarning yuqori chegarasi bo'lgani uchun har bir ifoda dan katta emas. Bu holda ifoda ham dan katta bo'lmaydi, bu esa ning absolyut uzluksizligini ko'rsatadi. ...