Aniq integral va uni hisoblash

Aniq integral va uni hisoblash Reja: 1. Aniq integral tushunchasi 2. Aniq integralning xossalari 3. N'yuton-Leybnis formulasi 4. Aniq integralni o'zgaruvchini almashtirish usuli bilan hisoblash 5. Aniq integralni bo'laklab integrallash 1. Aniq integral tushunchasi Ixtiyoriy funksiya biror oraliqda berilgan bo'lib, u uzluksiz bo'lsin. oraliqda ta ketma- ket kuqtalar olamiz. U holda, bu nuqtalar oraliqni ta qismga ajratadi. Bunda va deb olamiz. Hosil bo'lgan elementar kesmalarni quyidagicha ifodalaymiz: y kesmada da da va hokazo, da nuqta olamiz. U holda, quyidagi 0 x yig'indi o'rinli bo'ladi: (1) yoki (2) belgilashlar kiritamiz. U holda (1) va (2) ni quyidagicha yozish mumkin: yoki . (3) (3) ga funksiyaning oraliqdagi integral yig'indisi deyiladi. Ta'rif: funksiyaning kesmadag aniq integrali deb integral yig'indining elementar kesmalardan eng kattasining uzunligi bo'lgandagi limitiga aytiladi va quyidagi ko'rinishda ifodalanadi: (4) Bunda - integralning quyi, - yuqori chegarasidir. Integralning o'qilishi: «Integral dan gacha, ef iks de iks». Agar funksiya oraliqda uzluksiz bo'lsa, u holda integral yig'indi chekli limitga ega bo'ladi, ya'ni qarralayotgan funksiya da integrallanuvchi bo'lib, integral yig'indining limiti oraliqning bo'linish usuliga va har bir elementar kesmadagi nuqtaning olinishiga bog'liq bo'lmaydi. Misol. integralni ta'rif asosida hisoblang. Yechilishi: Berilishiga ko'ra va oraliqni quyidagi nuqtalar yordamida ta teng elementar kesmalarga ajratamiz va berilgan funksiyaning ularga mos qiymatlarini topamiz: U holda, integral yig'indining qo'shiluvchilari Integral yig'indi quyidagicha bo'ladi: U holda, Demak, kv. birl. 2. Aniq integralning xossalari 1- xossa. Har qanday o'zgarmas son uchun quyidagi tenglik o'rinli: (1) Isboti: funksiyaning dagi integral yig'indisini qaraydik: Demak, (1) tenglik o'rinli ekan. 2- xossa. O'zgarmas sonni integral belgisi oldiga chiqarish mumkin: (2) Isboti: funusiyaning dagi integral yig'indisi uchun quyidagi o'rinlidir: Shuning uchun Demak, funksiya oraliqda integrallanuvchi bo'lib, (2) formula o'rinli ekan. 3-xossa. Agar va funksiyalar oraliqda integrallanuvchi bo'lsa, ularning algebraik yig'indisi ham shu oraliqda integrallanuvchi bo'ladi, ya'ni: (3) Isboti: 4-xossa. Agar aniq integralning chegaralari o'zaro almashtirilsa, uning ishorasi qarama -qarshiga o'zgaradi: (4) Isboti talabalarga havola qilinadi. 5-xossa. Chegaralari o'zaro teng, ya'ni bo'lgan aniq integral nolga teng: (5) Isboti talabalarga havola qilinadi. 6-xossa. Agar fnksiya da musbat bo'lib, bo'lsa, quyidagi tengsizlik o'rinli bo'ladi: (6) Isboti: oraliq ixtiyoriy elementar kesmalarga ajratilganda va nuqta da ixtiyoriy tanlanganda va bo'ladi. U holda, Bundan, 7-xossa. Agar oraliqda bo'lganda bo'lsa, . (7) o'rinli bo'ladi. Isboti: Shartga asosan U holda, uni da integrallaymiz: 3-xossaga asosan 8-xossa. Agar oraliqda bo'lib, va lar funksiyaning shu oraliqdagi eng kichik va eng katta qiymatlari bo'lsa, quyidagi o'rinli bo'ladi: (8) Isboti: Shartga asosan Tengsizlikni oraliqda integrallaymiz: U holda, 2- xossaga ...