Aniq integrallarni taqribiy hisoblash

Aniq integrallarni taqribiy hisoblash Reja: 1. To'g'ri to'tburchaklar formulasi. kesmada aniqlangan va uzluksiz bo'lgan funksiyadan olingan integralni hisoblashni ko'raylik. kesmani nuqtalar bilan uzunliklari birxil, ya'ni bo'lgan n ta teng bo'laklarga ajrataylik. Bu yig'indilarning har biri funksiya uchun kesmada tuzilgan integral yig'indi bo'ladi. Shuning uchun integralning taqribiy qiymati (1) (2) va (2) formulalar to'g'ri to'rtburchaklar formulasi deyiladi. Chizmadan ko'rinadiki agar musbat va o'suvchi funksiya bo'lsa, u holda (1) formula ichki chizilgan to'g'ri to'rtburchaklardan tuzilgan zinapoyasimon shaklning yuzini tasvirlaydi. (2) formula esa tashqi to'rtburchaklardan tuzilgan zinapoyasimon shaklning yuzini tasvirlaydi. Bu formulalar bilan hisoblanganda qo'yiladigan xatolik n soni qancha katta bo'lsa, ya'ni qancha kichik bo'lsa, shuncha kam bo'ladi. Misol. integralni n=10 bo'lgan holda to'g'ri to'rtburchaklar formulasi bilan hisoblang. yechish. ; Agar (1) formula bo'yicha hisoblasak Endi Nyuton-Leybnis formulasi bo'yicha hisoblaylik = haqiqatan integralning qiymati kesmada bo'lar ekan. 2. Trapesiyalar formulasi Agar egri chiziqni to'g'ri to'rtburchaklar formulasidagidek zinapoyasimon ko'rinishdagi to'g'ri chiziqlar bilan emas, balki ichki chizilgan siniq chiziqlar bilan almashtirsak, u holda aniq integralni hisoblashdagi xatolik ancha kam bo'lishi tabiiydir. Bu holda egri chiziqli trapesiyaning yuzi taxminan yuqoridan vatarlar bilan chegaralangan to'g'ri chiziqli trapesiyalar yuzalarining yig'indisiga teng bo'ladi. (3) (3) ga trapesiyalar formulasi deyiladi. Misol. integralni n=5 da taqribiy hisoblang. yechish. = Simpson (parabolalar) formulasi integralni taqribiy hisoblash talab qilinsin. Buning uchun ni n=2m sondagi juft bo'lgan nuqtalar orqali bo'lakchalarga ajratib, f(x) funksiyaning bu nuqtalardagi qiymatlarini deylik. Endi har bir oraliqga mos kelgan y= f(x) funksiya grafigini parabola yoyi bilan almashtiraylik. U holda egri chiziqli trapesiyaning yuzi taxminan yušoridan parabola yoylari bilan almashtirilgan bo'lakchalar yuzalarining yig'indisiga teng bo'ladi. Yuqoridan parabola yoylari bilan chegaralangan shakllar yuzalarini hisoblab qo'shsak quyidagi formula kelib chiqadi: yoki n=2m bo'lgani uchun (4) (4) ga Simpson yoki parabolalar formulasi deyiladi. Misol. integralni n=2m=8 bo'lganda hisoblang. yechish. = demak Simpson formulasidagi xatolik juda kam bo'lar ekan. Eslatma. integralni (1) yoki (2) to'g'ri to'rtburchaklar formulasi yordamida taqribiy hisoblaganda quyidagi xatolik formula bilan hisoblanadi. Bu yerda M1 ning kesmadagi eng katta qiymati. integralni (3) trapesiyalar va (4) Simpson formulalari bilan taqribiy hisoblagandagi qo'yiladigan xatoliklar mos ravishda quyidagi formulalar bilan hisoblanadi: M2 ning kesmadagi eng katta qiymati, M3 esa ning kesmadagi eng katta qiymati. Xosmas integrallar 1. Chegarasi cheksiz bo'lgan integral Biz aniq integralda chegaralari chekli bo'lib, integral ostidagi funksiya uzluksiz va chegaralangan bo'lsin degan edik. Endi bu shartlarning bajarilmagan hollarini ko'raylik. Ta'rif. Agar da chekli limit mavjud bo'lsa, bu limitga f(x) funksiyaning oraliqdagi xosmas integrali deyiladi va ko'rinishda yoziladi. Demak ta'rifga ko'ra = bo'ladi. ...