Aniqmas lebeg integralining hosilasi

Aniqmas lеbеg intеgralining хоsilasi Reja Aniqmas Lеbеg intеgrali Aniqmas Lеbеg intеgralining хоsilasi Tayanch so'zlar: o'lchоvli to'plam, o'lchоvli funksiya, jamlanuvchi funksiyalar,chegarlangan funksiya. Aniqmas Lеbеg intеgrali Faraz qilaylik, segmentda jaml anuvchi funksiya berilgan bo'lsin. Lebeg integralining xossasiga asosan bu funksiya segmentning har qanday o'lchovli qism to'plamlarida ham jamlanuvchi bo'ladi. Xususan, funksiyani olib, oraliqning harqismida ushbu Lebeg integralini qarasak, uning qiymati ga bog'liq bo'ladi. Bu integral Lebegning aniqmas integrali deyiladi. Biz uni orqali belgilaymiz. Lebegning aniqmas integrali juda muhum funksiyalar sinfini tekshirishga olib keladi. Matematik analiz umumiy kursidan ma'lumki, segmentda aniqlangan uzluksiz funksiya va uning Riman ma'nosidagi aniqmas integrali uchun segmentning har bir nuqtasida (1) Munosabat hamda segmentning har bir nuqtasida uzluksiz hosilaga ega bo'lgan funksiya uchun ushbu (2) Nyuton-Lebnis formulasi o'rinlidir. Shunga o'xshash ibora Lebeg integrali uchun ham o'rinlimi, yani funksiya segmentda jamlanuvchi bo'lsa, (1)va (2) tengliklar saqlanadimi? Quyida shu savolga javob beramiz. Dastlab quyidagi teoremani isbotLaymiz. 1-teorema. Agar jamlanuvchi funksiya bo'lsa, u houda uning Lebeg ma'nosidagi aniqmas integrali o'zgarishi chegabalangan funksiya bo'ladi. Isbot. funksiyaning segmentda jamlanuvchiligidan shu oraliqda funksiyaning mavjtdligi kelib chiqadi. Agar segmentda bo'lsa, monoton funksiya bo'lib( uning o'zgarishi chegaralangandir. Umumiy hol esa funksiyani ikki manfiy bo'lmagan va funksiyalarning ayirmasi sifatida ya'ni (3) Ko'rinishda yozish mumkinligidan kelib chiqadi. Aniqmas Lеbеg intеgralining хоsilasi 2-teorema (Lebeg ). Jamlanuvchi funksiyaning aniqmas Lebeg integrali deyarli har bir nuqtada qiymati ga teng hosilaga ega Isbot. 1-teoremaga asosan funksiya o'zgarishi chegaralangan funksiyadir. funksiy! esa deyarli har bir nuqtada chekli hosilaga ega. Endi (1) tengliknin' deyarli har bir nuqtada o'rinlli ekanligini funksiya manfiy bo'lmagan hol uchun ko'rsatish kifoya, chunki umumiy hol (3) tdnglik yordamida bu holga keltiriladi. manfiy bo'lmagani uchun unga monoton o'sib yaqinlashuvchi manfiy bo'lmagan pog'onali funksiyalar ketma-ketligi mavjud. Ravshanki, pog'onali funksiyaning aniqmas Lebeg integrali deyarli har bir nuqtada chekli . hosilaga ega va tenglik o'rinli bo'lib bundan deyarli har bir nuqtada ushbu tenglikka ega bo'lamiz. 3-teorema. segmentda aniqlangan funksiyaning aniqmas Lebeg integrali chegaralangan to'la o'zgarishga ega va Isbot. segmentni nuqtalar bilan ixtiyoriy ravshda ta qismga bo'lib, har bir qismda qiymati songa teng bo'lgan pog'onali funksiyani tuzamiz. U holda ushbu tengsizlikka ega bo'lamiz. Agar yarim segmentlardan eng kattasining uzunligi istagancha kichik qilib olinsa hamda son ushbu funksiyalar ketma-ketligini olib quyidagi funksiyani tuzamiz: Ko'rinishda tanlansa, u holda yig'indi istalgancha yaqin qilinishi mumkin. Demak, (4) Bu tengsizlikda, haqiqatda , tenglik munosabati o'rinli ekanligini ko'rsatamiz. Buning uchun funksiyaga deyarli yaqinlashuvchi pog'onali U holda funksiyaning tuzilishiga asosan deyarli bo'lgan nuqtalarda va deyarli bo'lgan nuqtalarda munosabatlarga ega bo'lamiz. Bundan Tenglik kelib ...