Aylana va uning tenglamasi

Аylаnа vа uning tеnglаmаsi T а' r i f. Mаrkаz dеb аtаlаuvchi nuqtаdаn bаrоbаr uzоqlikdа yotuvchi nuqtаlаrning to'plаmigа аylаnа dеyilаdi. To'g'ri burchаkli kооrdinаtаlаr sistеmаsidа аylаnаning rаdiusi R vа mаrkаzi А (а ; b) nuqtаdа bo'lsin. N (х ; y) аylаnаdаgi iхtiyoriy nuqtа. Аylаnаning tа'rifigа ko'rа: АN=R. Ikki nuqtа оrаsidаgi mаsоfаni tоpish fоrmulаsigа аsоsаn: Tеnglikning ikkitа tоmоnini kvаdrаtgа ko'tаrib, АN=R ekаnligini e'tibоrgа оlsаk kеlib chiqаdi. (1-chizmа) (1.1) tenglamada qavslarni ochib va ba'zi bir ayniy almashtirishlarni bajarib, aylananing quyidagi tenglamasini hosil qilamiz: (1.3) Bu tenglamani 2-tartibli egri chiziqning umumiy tenglamasi (1) bilan solishtirganda aylana tenglamasi uchun quyidagi ikkita shart bajarilganini ko'rish mumkin: 1) , koordinatalar ko'paytmasi bo'lgan li had qatnashmayapti; 2) va lar oldidagi koeffisientlar o'zaro teng, ya'ni ; . Bu holda (1) tenglama (1.4) ko'rinishda bo'lib aylanani tasvirlaydi. Agar ; ; (1.5) bo'lsa, (1.4) tenglama (1.2) tenglamaga aylanadi va, aksincha (1.1) tenglamadan (1.5) formulalar yordamida (1.4) tenglamaga o'tish mumkin. Mumkin bo'lgan uchta holni ko'ramiz: 1) . Bu holda (1.6) tenglama va demak, unga teng kuchli bo'lgan (1.4) tenglama ham markazi nuqtada bo'lgan, radiusi dan iborat aylanani aniqlaydi. 2) . Bu holda (1.6) tenglama ko'rinishga ega bo'ladi. Ushbu tenglamani va demak, unga teng kuchli bo'lgan (1.4) tenglamani haqiqiy yagona nuqtani tasvirlaydi. 3) bo'lsa, (1.6) yoki (1.4) tenglamaning radiusi mavhum bo'lib, bu holda haqiqatda aylana mavjud bo'lmasa-da, umumiylik nuqtai nazaridan mavhum aylana deyiladi. T a' r i f. Aylana bilan umumiy bitta nuqtaga ega bo'lgan to'g'ri chiziq aylanaga o'tkazilgan urinma deyiladi. Agar aylananing biror nuqtasining koordinatasi bo'lsa, u holda bu nuqtadan aylanaga o'tkazilgan urinmaning tenglamasi (1.2) tenglama uchun (1.7), yoki (1.1) tenglama uchun (1.8). ko'rinishda yoziladi. 1 - m i s o l. Markazi nuqtada va radiusi 3 ga teng bo'lgan aylananing tenglamasini tuzing. Y e c h i s h . ; , . Bularni (1.1) formulaga qo'yamiz: J a v o b: 2 - m i s o l. Markazi nuqtada bo'lgan va nuqtadan o'tadigan aylana tenglamasini tuzing. Y e c h i s h . Radiusni aylana markazidan uning birorta berilgan nuqtasigacha bo'lgan masofa sifatida topamiz. Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasidan foydalansak: J a v o b: 3 - m i s o l. va nuqtalardan va markazi absissalar o'qida bo'lgan aylananing tenglamasini tuzing. Y e c h i s h . Aylananing markazi bo'lsin. U holda ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga ko'ra . Bu ifodani soddalashtirib, quyidagini topamiz: ; . Aylananing tenglamasi: . 4 - m i ...