Borel - Lebeg teoremasi. Chegaralangan ochiq va yopiq to'plamlar

Bоrеl -Lеbеg tеоrеmasi. Chеgaralangan оchiq va yopiq to'plamlar. Kantоr to'plamlari Rеja: Yopiq to'plamlar. Kantоr tеоrеmasi. Bоrеl-Lеbеg tеоrеmasi. Kantоr to'plami. Tayanch so'zlar: Limit nuqta , yopiq to'plam, to'plamlar ko'paytmasi, to'plamlar birlashmasi Yopiq to'plam va hosila to'plamlarning xossalari. 1 - Teorema. Har qanday to'plamning hosila to'plami yopiq to'plamdir, ya'ni . Isbot. Agar to'plamning limit nuqtalari bo'lmasa, teoremani isbotlab o'tirishning hojati yo'q. Endi uchun biror limit nuqta bo'lsin; bu nuqtaning ga kirishini ko'rsatamiz. Buning uchun nuqtani o'z ichiga olgan ixtiyoriy oraliqni olamiz. Bu oraliqda ning hech bo'lmaganda dan farqli bitta elementi mavjud, chunki nuqta uchun limit nuqta .Bu nuqta to'plam uchun limit nuqta bo'ladi , chunki . Shuning uchun oraliqda to'plamning cheksiz ko'p elementlari bo'ladi .Demak ,nuqtaning ixtiyoriy atrofida to'plamning cheksiz ko'p elementlari mavjud . Bu esa ning uchun limit nuqta ekanligini ko'rsatadi, yani . Quyidagi teorema hosila to'plam ta'rifidan bevosita kelib chiqadi. 2 - Teorema. Agar bo'lsa, bo'ladi. 3 - Teorema. Ikki to'plam yig'indisining hosila to'plami ularning hosila to'plamlarining yig'indisiga teng, ya'ni . Isbot. Agar va munosabbatlarning o'rinliligi ko'rsatilsa, teorema isbot bo'ladi. munosabat 13.2 - teoremadan kelib chiqadi. munosabatni isbotlaymiz. Aytaylik, ixtiyoriy bo'lsin. U holda ning ixtiyoriy atrofida to'plamning cheksiz ko'p elementi bo'ladi. Bunda ikki hol bo'lishi mumkin. Birinchi hol: ning ixtiyoriy atrofida doimo ning cheksiz ko'p elementi bor; bu holda bo'ladi. Ikkinchi hol: ning shunday atrofi mavjudki, unda ning faqat chekli sondagi elementi bo'ladi; bu holda bu atrofda ning cheksiz ko'p elementi bo'lib, bo'ladi. Shunday qilib, hamma vaqt munosabatga ega bo'lamiz. Bundan munosabat kelib chiqadi. 4 - Natija. Hadlarining soni chekli bo'lgan to'plamlar yig'indisining hosila to'plami ularning hosila to'plamlarining yig'indisiga teng, ya'ni 5 -Teorema. Har qanday to'plamning yopilmasi yopiq to'plamdir. Isbot. 2- va 3-teoremalardan bevosita quyidagilarni olamiz: . Endi 1 -teoremaga asosan . to'plamning yopilmasini bilan belgilaymiz. 6 - Teorema. Har qanday to'plam uchun . Isbot. 5 -teoremaga asosan to'plam yopiq, ya'ni . Bundan . 7 - Izoh. 4 - natija, umuman, hadlarining soni cheksiz bo'lgan to'plamlar uchun o'rinli emas. 8 - Teorema. Soni chekli yopiq to'plamlarning yig'indisi yopiq to'plamdir. Bu teorema ikki yopiq to'plamlar uchun isbot etilsa kifoya, chunki ikduksiya yo'li bilan umumiy hol ham shu holga keltirilishi mumkin. va yopiq to'plamlar bo'lsin. Bu to'plamlarning yopiq ekanligidan va 3 -teoremadan munosabat kelib chiqadi. Bu esa to'plamning yopiq ekanligini ko'rsatadi. Lekin hadlarinin soni cheksiz bo'lgan to'plamlar yig'indisi yopiq bo'lmasligi mumkin. Masalan, to'plamlarning har biri yopiq to'plamdir. Ammo ularning yig'indisi yarim oraliqqa teng; bu to'plam esa yopiq emas, chunki 1 nuqta bu ...