Chebishev kvadratur formulasi

Chebishev kvadratur formulasi Bu formula shu bilan har xarakterlanadiki, f(xk) oldidagi barcha koeffisiyentlar o'zaro teng. Agar f(xk) ning qiymatlari tasodifiy xatolarga moyil bo'lsa, u holda bunday formulalar katta ahamiyatga ega bo'ladi. Chunki belgilangan с1 + с2 + сп uchun с1 f(х,) + с 2f(х2) + + с nfхп) ifoda c=c2 = =сп bo'lganda eng kichik tasodifiy xatoga ega bo'ladi. Shu munosabat bilan P.L. Chebishev teng koeffisiyentli kvadratur formula tuzish masalasini qo'ygan edi. Bu kvadratur formulaning o'ng tomonida п +1 ta parametr: п ta хк tugunlar va сп koeffisiyent qatnashadi. Bu parametrlarni tegishli usulda tanlash yo'li bilan (6.1) formulani п-darajali f(x) ko'phadni aniq integrallaydigan qilib qurishga imkoniyat borligiga umid qilish mumkin. Biz keyinchalik (6.1) formulaning har doim ham mavjud bo'lavermasligini ko'ramiz. 4-§ dagidek bu yerda ham х1, х2, , хп larni topish o'rniga ko'phadni izlaymiz. (6.1) formulada f(x) = а0 + а1х + + а nхn deb olamiz, bu yerda a0, а1 , ап - ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Shartga ko'ra bu funksiya uchun Rn(f) = 0, shuning uchun ham quyidagi tenglikka ega bo'lamiz: Quyidagicha belgilash kiritaylik: (6.2) tenglikdan ai larning ixtiyoriyligini hisobga olsak tengliklar kelib chiqadi. Birinchi tenglikdan ni topamiz. So'ng belgilash kiritib, х1, х2, , хn larni topish uchun quyidagi sistemaga ega bo'lamiz: Biz chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishdan bilamizki, ko'phadning koeffisiyentlari bilan uning ildizlaridan tuzilgan sk = simmetrik funksiyalarni o'zaro bog'laydigan Nyuton formulalarini chiqargan edik. Bu formulalardan ketma-ket A1 ,A2 ,…,An larni aniqlaymiz. Endi bo'lgan Chebishev formulasining xususiy holini qaraymiz. Bu holda bo'ladi. Chebishev n = 1(1)7 lar uchun kvadratur formulaning tugunlarini topgan edi.Keyinchalik ma'lum bo'ldiki, n = 8 bo'lganda п(х) ko'phad ildizlarining orasida komplekslari ham mavjud ekan, п = 9 bo'lganda barcha ildizlar yana haqiqiydir. Quyida p=1(1)7 va n=9 uchun (6.4) Chebishevning kvadratur formulasining tugunlari keltirilgan: п= 1 х1 = 0; n = 2 -х1 = х2 = 0,5773502691; n = 3 -х1 =х3 = 0,7071067812, х2 = 0; n= 4 -x1 = х4 = 0,7946544723, -х2 = х3 = 0,1875924741; n = 5 -х1 = х5 = 0,8324974870, -х2 = х4 = 0,3745414096, х3 = 0; п = 6 -х1 = х6 = 0,8662468181, -х2 = х5 = 0,4225186538, -х3 = х4 = 0,266354015; п = 7 -x1 = х7 = 0,8838617008, -х2 = х6 = 0,5296567753, -х3 = х5 = 0,3239118105, х4 = 0; п = 9 -x1 =х9 = 0,9115893077, -х2 = х8 = 0,6010186554, -х3 = х7 = 0,5287617831, -х4 ...