Chegaralangan funksiyaning lebeg integrali

Chegaralangan funksiyaning lеbеg intеgrali Reja: Harakteristik funksiya. Chegaralangan funksiyaning Lеbеg intеgrali Chegaralangan funksiyaning Lеbеg intеgrali xossalari Tayanch so'zlar: aniq quyi va aniq yuqori chegara, chegaralangan funksiya, o'lchоvli to'plam, o'lchоvli funksiya, harakteristik funksiya Harakteristik funksiya Avvalo Lebeg integralini segmentdagi o'lchovli E to'plamning harakteristik funksiyasi uchun aniqlaymiz . Ushbu funksiyani E to'plamning xarakteristik funksiyasi deyiladi. funksiyaning lebeg integrali deb songa (ya'ni E to'plamning o'lchoviga) aytiladi va quyidagicha belgilanadi: Ushbu funksiya uchun Lebeg integralini tenglik bilan aniqlaymiz . Chegaralangan funksiyaning Lеbеg intеgrali Umumiy holga o'tish uchun A va B bilan o'lchovli E to'plamda aniqlangan funksiyaning mos ravishda aniq quyi va aniq yuqori chegaralarini belgilaymiz hamda segmentni quyidagicha n qismga bo'lamiz : So'ngra bilan tengsizlikni qanoatlantiradigan nuqtalardan iborat to'plamni belgilaymiz. o'lchovli bo'lganligi uchun to'plamlar o'lchovli bo'ladi . Endi ushbu yig'indilarni tuzamiz (s va S ni mos ravishda quyi va yuqori yig'indilar deyiladi ) va quyidagi ta'rifni kiritamiz . 1-ta'rif . Agar nolga intilganda ( s va S yig'indilarning limiti mavjud bo'lib bir-biriga teng bo'lsa va bu limit nuqtalarni tanlab olishga bog'liq bo'lmasa u holda bu limitni funksiyaning E to'plamdagi Lebeg integrali deyiladi va bu integral yuqoridagi xususiy hollar kabi ushbu ko'rinishda belgilanadi 1-teorema . Agar f(x) funksiya o'lchovli E to'plamda o'lchovli va chegaralangan bo'lsa u holda uning uchun Lebeg integrali mavjuddir. Isbot. Chegaralangan va o'lchovli ni olib uning uchun s va S yig'indilarning umumiy limitga ega ekanligini ko'rsatamiz. Bu funksiya chegaralanganligi uchun uning aniq quyi va aniq yuqori chegaralari mavjud ; ular mos ravishda A va B bo'lsin.[A,B] segmentni ikki usul bilan quyidagicha va qismlarga bo'lamiz : (1) (2) Agar belgilashlarni kiritsak u holda bo'linish nuqtalari uchun ushbu tengsizliklar bajariladi. Bu tengsizliklardan quyidagi munosabatlar kelib chiqadi. Bu yerda sonlar (2) bo'linish uchun tuzilgan quyi va yuqori yig'indilar . Endi (1) va (2) bo'linish nuqtalarini ya'ni va nuqtalarning hammasini bo'luvchi nuqtalar sifatida olamiz va tegishli yig'indilarni tuzamiz, buning natijasida s va yig'indilar kamaymaydi . S va yig'indilar esa ortmaydi, ya'ni (3) tengsizliklar o'rinli bo'ladi.Darhaqiqat , agar oraliqni birorta yangi nuqta yordami bilan oraliqlarga bo'lsak u holda ushbu tengsizlik bajariladi. Bundan ko'rinadiki , ya'ni qo'shimcha bo'linish nuqtalari tengsizlikni ham yozishimiz mumkin ; bundan ko'rinadiki , yangi nuqtani kiritish natijasida S yig'indining tegishli hadi ortmas ekan , Demak ,S yuqori yig'indining o'zi ham ortmaydi (3) munosablardan ko'rinadiki (s,S) va oraliqlar oraliqlardan iborat umumiy qismga ega ekan . Demak va sonlarning hammasi uzunligi dan katta bo'lmagan oraliqda joylashgandir . ni istalgancha kichik qilish mumkinligidan va matematik analizdagi umumiy ...