Chegaraviy masala yechimining yagonaligi. Dirixle masalasi yechimining yagonaligi

Chegaraviy masala yechimining yagonaligi. Dirixle masalasi yechimining yagonaligi Reja: Dirixle masalasi yechimining yagonaligi. Doira uchun Dirixle masalasini Fure usulida yechish. Puasson integrali. Teorema. Agar bo'lsa, u holda ushbu Dirixle masalasining yechimi yagona. Isbot. Faraz qilaylik ichki Dirixle masalasining ikkita yechimlari mavjud bo'lsin. U holda bo'lib, yani . Maksimum prinsipiga asosan bo'ladi. Bundan Doira uchun Dirixle masalasini Fure usulida yechish Ushbu soha - doiradan iborat bo'lsin. U holda (1) (2) Dirixle masalasining yechimini Fure usulida topish bilan shug'ullanamiz. Buning uchun qutb koordinatalar sistemasiga o'tamiz: (3) (4) Izlayotgan yechim shartni qanoatlantiradi, chunki yechim uzluksiz va cheksizlikda regulyar, aniqlanishiga ko'ra u chegaralangan cheksizlikda. (3) + (4) masalaning davriy chegaralangan yechimini ushbu (5) ko'rinishda izlaymiz. Bunda (6) (7) (8) , yani bo'lsin buni davriylik shartiga qo'ysak, Demak xos qiymat, xos funksiya bo'ladi. Ortonormallangan xos funksiyasi bo'ladi. Aniklik uchun deb ham olish mumkin, u holda xos funksiya bo'ladi. Shunday qilib (6) + (7) masalaning xos qiymatlari , xos funksiyalari va cosk bo'lib, uning yechimi hosil bo'ladi. (8) tenglamaning yechimini bo'lgan holda ko'rinishda izlaymiz. ; xususiy yechimlar bo'lib, umumiy yechim esa bo'ladi. Agar bo'lsa, u holda (8) tenglama quyidagi ko'rinishga keladi. chegaralanganligidan kelib chiqadi. . Umumiy yechim holda ham o'rinlidir. Demak, k=0,1,2,… Bu topilgan va larni (5) ga qo'yib yechimni topamiz. Topilgan yechim da chegaralangan bo'lishi uchun bo'lishi kerak. U holda Dirixle masalasining yechimi (aniqlik uchun ) . Superpozitsiya prinsipiga asosan Dirixle masalasining yechimi (9) ko'rinishda bo'ladi. - chegaraviy shartdan foydalanib, (10) Bizga davriy funksiya berilgan bo'lgani uchun uning Fure koeffitsiyentlarini belgilab olamiz. . Bunda funksiyaning Fure koeffitsiyentlari bo'lib ular malum sonlardir. (11) (10) va (11) larni tenglashtirib (12) dan foydalanib (9) ni Ushbu ko'rinishda yozib olamiz: (13) Bu biz izlagan Dirixle masalasining yechimi bo'ladi. Puasson integrali Doira uchun Dirixle ichki masalasini yechimini ifodalovchi formulani yozib olamiz: berilgan funksiya. Ushbu belgilashni olamiz, u holda (14) bu yerda , (15) L. Eyler formulasidan foydalanib, bo'lganda bo'lganda Bundan foydalanib (15) ni quyidagicha yozib olamiz: Bu integralga Puasson integrali deyiladi. Adabiyotlar 1.Salohitdinov M.S., Matematik fizika tenglamalari, T., «O'zbekiston», 2002. 2.Vladimirov V.S., Uravneniya matematicheskoy fiziki, M, «Nauka», 1981. 3.Tixonov A.N., Samarskiy A.A., Uravneniya matematicheskoy fiziki, M, «Nauka», 1977. 4. ww.ziyonet.o'z ww.education.o'z ...