Chekli - ayirmali tenglamalar

Chekli-ayirmali tenglamalar Differensial va integral tenglamalar klassik analizda qanchalik katta ahamiyatga ega bo'lsa, chekli-ayirmali tenglamalarning roli ham diskret analizda ana shundaydir. Bu paragrafni chekli-ayirmali tenglamalarga baqishlaymiz. Faraz qilaylik, у(х) funksiya biror oraliqda berilgan bo'lsin. Aniqlik uchun bu oraliq yarim o'qdan iborat bo'lsin. Biror h 0 qadamli x + kh to'rni olib, y(x) ning chekli ayirmalarini tuzamiz: Ushbu (11.1) ko'rinishdagi tenglama p-tartibli chekli-ayirmali tenglama deyiladi. Bu yerda y(x) izlanayotgan funksiya bo'lib, F(h y0, ,уp) o'z argumentlari (х, у0, , уp) ning o'zgarish sohasida aniqlangan funksiyadir. Agar chekli ayirmalarni funksiyaning qiymatlari orqali ifodalasak (11.1) tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: Ф (х, у(х), у (x+h), , y(x + ph)) = 0. (11.2) Endi x ning х=nh (п=0, 1,2,) ko'rinishdagi qiymatlarini olib, y(kh =yk deb belgilab olsak (11.2) tenglama Q(n,yn,yn + 1, yn+p) = 0 (n = 0,1,2, ) (11.3) ko'rinishga ega bo'ladi. Biz (11.3) ko'rinishdagi tenglamaning eng sodda ko'rinishini, ya'ni ук larga nisbatan chiziqli bo'lgan (11.4) tenglamani qaraymiz. Bu tenglama n - tartibli chiziqli-ayirmali tenglama deyiladi. Bu yerda аi(п) koeffisiyentlar va f(n) ozod had p (butun sonlar)ning ixtiyoriy funksiyalari. Ozod hadi nolga teng bo'lgan L(z)=0 tenglama bir jinsli deyiladi. Agar сi larga konkret qiymatlar berib, Z=z(n, c1 ,с2, , сп) formuladan qaralayotgan tenglamaning barcha yechimlarini topish mumkin bo'lsa, bunday formula umumiy yechim deyiladi. Agar v va у bir jinsli bo'lmagan L(v)= h tenglamaning xususiy va umumiy yechimi bo'lsa, u holda z = у -v bir jinsli tenglamaning yechimi bo'ladi: L(u - ) = L(u) - L() = h - h = 0. Shunday qilib, bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi bilan bir jinsli bo'lmagan tenglamaning xususiy yechimining yig'indisiga teng: у = z + . Agar barchasi birdaniga nolga teng bo'lmagan с1, с2, , ст lar mavjud bo'lib, (11.5) o'rinli bo'lsa, u holda bir jinsli tenglama L(u) =0 ning i(1), i(2),, i(т) yechimlari argumentning сi. = 0(i = 1,n) da bajarilsa, bu yechimlar chiziqli erkli deyiladi. Agar z(i) bir jinsli tenglama L(z) = 0 ning yechimi bo'lsa, u holda ularning chiziqli kombinatsiyaci ham bu tenglamaning yechimi bo'ladi, chunki Qulaylik uchun (11.4) tenglamaning п 0 qiymatlar uchun qaraymiz. Teorema. Faraz qilaylik, barcha п0 uchun а0(п)0 bo'lib, аi(п) lar chegaralangan bo'lsin. U holda L(z) = 0 bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi (11.6) bo'lib funksiyalar L(z) = 0 ning chiziqli erkli yechimlaridir. Isbot. (11.4) tenglamani quyidagi (f(n) = 0 bo'lganda) ko'rinishda yozib olamiz. Agar z0,, z1 , z n berilgan bo'lsa, ...