Differensial tenglamalar haqida tushuncha

Differensial tenglamalar haqida tushuncha Reja Differensial tenglamalar haqida boshlang'ich tushunchalar. Differensial tenglamalarga olib kelinadigan ba'zi masalalar. Asosiy ta'riflar va tushunchalar. Birinchi tartibli differensial tenglamalar (umumiy tushunchalar). Tabiatda uchraydigan turli jarayonlar (fizik, ximik, mexanik, biologik va boshqalar) o'z harakat qonunlariga ega. Ba'zi jarayonlar bir xil qonun bo'yicha sodir bo'lishi mumkin, bunday hollarda ularni o'rganish ancha yengillashadi. Ammo jarayonlarni tavsiflaydigan qonunlarni to'g'ridan-to'g'ri topish har doim ham mumkin bo'lavermaydi. Xarakterli miqdorlar va ularning hosilalari orasidagi munosabatlarni topish tabiatan yengil bo'ladi. Ko'pgina tabiiy va texnika masalalarini yechish shunday noma'lum funksiyalarni izlashga keltiriladiki, bunda bu funksiya berilgan hodisa yoki jarayonni ifodalab, ma'lum munosabatlar va bog'lanish esa shu noma'lum funksiya va uning hosilalari orasida beriladi. Mana shunday munosabat va qonunlar asosida bog'langan ifodalar differensial tenglamalarga misol bo'ladi. 1 - masala. Massasi m bo'lgan jism V(0)=V0 boshlang'ich tezlik bilan biror balandlikdan tashlab yuborilgan. Jism tezligining o'zgarish qonunini toping. (1 - rasm) Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra mdvdt=F bu yerda F - jismga ta'sir etayotgan kuchlarning yig'indisi (teng ta'sir etuvchi). Jismga faqat 2 ta kuch ta'sir etsin deb hisoblaylik: havoning qarshilik kuchi F1=-kv, k0; yerning tortish kuchi F2=mg. F1=-kv F2=mg 1-rasm Demak, matematik nuqtai nazardan F kuch a) F2 ga; b) F1 ga; v) F1+F2 ga teng bo'lishi mumkin. a)Agar F=F1 bo'lsa, mdvdt=-kv tenglamaga ega bo'lamiz. Bunda V(t)=V0e-ktm bo'ladi. b) F=F2 bo'lsa, U holda birinchi tartibli mdvdt=mg differensial tenglamaga egamiz. Bu tenglamani yechimini V(t)=gt+c (c - ixtiyoriy o'zgarmas son) ko'rinishda ekanligini oddiy hisoblarda tekshirish mumkin. V(0)=V0 bo'lgani uchun c=V0 bo'lib, u holda izlangan qonun V1=gt+V0 ko'rinishida bo'ladi. v) F=F1+F2 bo'lsin. Bu holda mdvdt=mg-kv (k0) tenglamaga kelamiz. Noma'lum funksiya ko'rinishida bo'ladi. 1 - ta'rif. Differensial tenglama deb erkli o'zgaruvchi x, noma'lum y=f(x) funksiya va uning u', u'',,u(n) hosilalari orasidagi bog'lanishni ifodalaydigan tenglamaga aytiladi. Agar izlangan funksiya y=f(x) bitta erkli o'zgaruvchining funksiyasi bo'lsa, u holda differensial tenglama oddiy differensial tenglama, bir nechta o'zgaruvchilarning funksiyasi bo'lsa u=U(x1, x2,, xn) xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi. 2-ta'rif. Differensial tenglamaning tartibi deb tenglamaga kirgan hosilaning eng yuqori tartibiga aytiladi. 3-ta'rif. Differensial tenglamaning yechimi yoki integrali deb differensial tenglamaga qo'yganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday y=f(x) funksiyaga aytiladi. Birinchi tartibli differensial tenglama umumiy holda quyidagi ko'rinishda bo'ladi. F (x,y,)=0 (1.1) Agar bu tenglamani birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechish mumkin bo'lsa, u holda =f(x,y) (1.2) tenglamaga ega bo'lamiz. Odatda, (1.2) tenglama hosilaga nisbatan yechilgan tenglama deyiladi. (1.2) tenglama uchun yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema o'rinli : Teorema. Agar (1.2) tenglamada f(x,y) funksiya va undan y bo'yicha ...