Egri chiziq yoyining uzunligi. Hajmlarni hisoblash

Egri chiziq yoyining uzunligi. Hajmlarni hisoblash Reja: 1. To'g'ri burchakli koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi 2. Tinglamasi parametrik ko'rinishda berilgan yoy uzunligi hisoblansin 3. Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi 4. Jismning hajmini parallel kesimlar yuzalari bo'yicha hisoblash 5. Aylanma jism sirtining yuzi Tayanch ibora va tushunchalar Yoy uzunligi, sanoq chiziq, tenglamasi parametrik ko'rinishida berilgan yoy uzunligi, qutub kordenatasi. 1. To'g'ri burchakli koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi Tekislikda egri chiziqning AB yoyi (a,b) intervalda aniqlangan y=f(x) funksiyaning grafigi bo'lsin. Bu egri chiziqning x=a va x=b vertikal to'g'ri chiziqlar orasidagi AB yoyning uzunligini topamiz (29-chizma). Buning uchun uni M1, M2,…,Mn-1 nuqtalar yordamida n bo'lakka bo'lamiz. Qo'shni bo'lgan nuqtalarini kesma bilan tutashtirib AM1,M1.M2,…Mi-1.Mi,…,Mn-1B bug'unlardan tashkil topgan siniq chiziqlarni hosil qilamiz. Ularning uzunliklarini mos tartibda bilan belgilab ni hosil qilamiz. 29-chizma Ta'rif. yoyning uzunligi deb, ichki chizilgan siniq chiziqning eng katta bo'g'ini uzunligi nolga intilgandagi limitiga aytiladi: Bunda (2) limit mavjud va ichki chizilgan siniq chiziqlarning tanlanishiga bog'liq bo'lmaydi, deb faraz qilamiz. Teorema. Agar AB yoy y=f(x) tenglama bilan berilgan bo'lsin, bu yerda f(x)-[a,b] da uzluksiz birinchi tartibli hosilaga egabo'lgan funksiya. U holda uning uzunl formulasi yordamida hisoblanadi. (isboti [4], 373 betda). 25-misol. y2=x2 parabolaning O(0:0) dan A(1:1) nuqtagacha bo'lgan yoy uzunligini toping. yechish. (12) formulaga ko'ra, quyidagiga ega bo'lamiz: 2 Tenglamasi parametrik ko'rinishda berilgan yoy uzunligini hisoblash. Egri chiziq tenglamasi (13) parametrik ko'rinishda berilgan bo'lsa, bunda uzluksiz, differensiallanuvchi funksiyalar. Bu holda (13) tenglama biror y=f(x) uzluksiz funksiyani aniqlab, uzluksiz hosilaga ega. bo'lsin. Bu holda (12) integralda (14) almashtirishni bajarib, (15) yoy uzunligini hisoblovchi formulani hosil qilamiz. Izoh. Agar egri chiziq fazoda parametrik tenglamalar (16) bilan berilgan bo'lsa, u holda yoyning uzunligi (16) formula bilan aniqlanadi. 26-misol. siklorida bitta arki (27-chizma) uzunligini hisoblang. yechish. Sikloida arklari bir xil bo'lgani uchun (15)uning bitta arkini olamiz. Bunda t parametr 0 dan gacha o'zgaradi, bo'lgani uchun fo'rmulaga ko'ra egri chiziqning uzunligi quyidagicha aniqlanadi : 3. Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq tenglamasi bo'lsin, bunda qutb radiusi, qutb burchagi. Qutb koordinatalaridan Dekart koordinatalariga o'tish formulasini yozamiz: . Agar bunda o'rniga uning orqali ifodasini qo'ysak, u holda tenglamalari hosil bo'ladi. Bu tenglamalarga egri chiziqning parametrik tenglamalari deb harash va yoy uzunligini hisoblash uchun formulani tatbiq etish mumkin. Buning uchun x va y dan parametr bo'yicha hosila olamiz: . Bu holda (18) orqali egri chiziq yoyi uzunligi hisoblanadi. Bunda va qutb burchagi ning yoy uchlaridagi qiymatlari ( ). 27-misol. Arximed ...