Ehtimolliklarni qo'shish va ko'paytirish teoremalari. Tula ehtimollik va bayes formulalari

Ehtimolliklarni qo'shish va ko'paytirish teoremalari.To'la ehtimollik va Bayes formulalari Reja: Ehtimolliklarni qo'shish teoremalari. Ehtimolliklarni ko'paytirish teoremalari. To'la ehtimollik formulasi. Bayes formulasi. A va V hodisalar birgalikda bo'lmasin hamda ularning eh-timolliklari berilgan bo'lsin. Yo A, yo V hodisaning ro'y berishi, yani bu hodisalarning yig'indisi A+V ning ehtimolligini qan-day topish mumkin? Bunga quyidagi teorema javob beradi. 3.1-teorema (birgalikda bo'lmagan hodisalarning ehti-molliklarini qo'shish). Ikkita birgalikda bo'lmagan hodisa-lar yig'indisining ehtimolligi bu hodisalar ehtimolliklari-ning yig'indisiga teng: . (3.1) Isbot. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: - elementar hodisalarning umumiy soni; - A hodisaning ro'y berishiga qulaylik tug'diruvchi ele-mentar hodisalar soni; - V hodisaning ro'y berishiga qulaylik tug'diruvchi ele-mentar hodisalar soni. Yo A, yo V hodisaning ro'y berishiga qulaylik tug'diruvchi ele-mentar hodisalar soni ga teng. Shuning uchun bo'ladi. va ekanligini etiborga olib, ni olamiz. 3.1-natija. Bir nechta birgalikda bo'lmagan hodisalar yi-g'indisining ehtimolligi bu hodisalar ehtimolliklarining yi-g'indisiga teng: . (3.2) 1-misol. Qutida 30 ta shar bor, ulardan 10 tasi qizil, 5 ta-si ko'k va 15 tasi oq. Rangli shar chiqishining ehtimolligi to-pilsin. yechish. Rangli sharning chiqishi yo qizil, yo ko'k sharning chi-qishini bildiradi. Qizil shar chiqishi (A hodisa)ning ehtimolligi ga teng. Ko'k shar chiqishi (V hodisa)ning ehtimolligi esa ga teng. A va V hodisalar birgalikda bo'lmagan hodisalardir (biror rangdagi sharning chiqishi boshqa rangdagi sharning chiqishini istisno qiladi), shuning uchun qidirilayotgan ehtimollik bo'ladi. Qarama-qarshi hodisalar birgalikda muqarrar hodisani tashkil etgani uchun 3.1-teoremadan ekanligi kelib chiqadi, shu sababli . (3.3) 2-misol. Kun davomida yog'ingarchilik bo'lishining ehtimol-ligi ga teng. Kun ochiq bo'lishining ehtimolligi topil-sin. yechish. «Kun davomida yog'ingarchilik bo'ladi» va «Kun ochiq» hodisalari qarama-qarshi hodisalardir, shuning uchun qidirila-yotgan ehtimollik ga teng. (2.1) formuladan quyidagi teoremani olamiz. 3.2-teorema (bog'liq hodisalarning ehtimolliklarini ko'paytirish). Ikkita bog'liq hodisalar ko'paytmasining ehti-molligi ulardan birining ehtimolligining shu hodisa ro'y berdi degan farazda hisoblangan ikkinchi hodisa shartli ehtimolligi-ga ko'paytmasiga teng: . (3.4) 3-misol. Yig'uvchida 3 ta konussimon va 7 ta ellipssimon valik bor. Yig'uvchi tavakkaliga avval bitta valikni, so'ngra esa ikkinchi valikni oldi. Birinchi valik konussimon, ikkinchisi esa ellipssimon ekanligining ehtimolligi topilsin. yechish. Birinchi valik konussimon ekanligi (V hodisa)ning ehtimolligi ga teng. Ikkinchi valik ellipssimon ekanligi (A hodisa)ning birinchi valik konussimon degan faraz-da hisoblangan shartli ehtimolligi ga teng. U holda (3.4) formulaga asosan qidirilayotgan ehtimollik bo'ladi. Endi A va V hodisalar bog'liqmas bo'lgan holga o'tamiz va bu hodisalar ko'paytmasining ehtimolligini topamiz. A hodisa V hodisaga bog'liq bo'lmagani uchun uning shartli ehtimolligi shartsiz ehtimolligiga tengdir, yani . Bu yerdan quyidagi teorema kelib chiqadi. 3.3-teorema (bog'liqmas hodisalarning ehtimolliklari-ni ko'paytirish). Ikkita bog'liqmas hodisalar ko'paytmasining ...