Ekvivalentlik va tartib munosabatlari

Ekvivalentlik va tartib munosabatlari Reja: 1. Ekvivalentlik munosabati va unga misollar. 2. Ekvivalentlik sinflari faktor-to'plam. 3. Tartib munosabati va unga misollar. 4. Qisman va to'la tartiblangan to'plamlar. 1- ta'rif. A to'plamda aniqlangan R binar munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo'lsa, u holda bunday munosabatga A tiplamdagi ekvivalentlik munosabati deyiladi. Ekvivalentlik munosabati yoki simvollar bilan belgilanadi. Masalan: 1). Ixtiyoriy bo'sh bo'lmagan A to'plamda aniqlangan aynan tenglik munosabati; 2). Tekislikdagi to'g'ri chiziqlar to'plamida aniqlangan parallellik munosabati; 3). Uchburchaklar to'plamida aniqlangan o'xshashlik munosabati; 4). Fazodagi geometrik figuralarning tengdoshlik munosabati va boshqalar. Berilgan A to'plamni unda aniqlangan R munosabat bo'yicha ekvivalentlik sinflariga ajratish mumkin. Buning uchun quyidagicha yo'l tutiladi. A to'plamdagi Ixtiyoriy bir a elementni olib aRx shartni qanoatlantiruvchi barcha x A elementlarni birta Sa sinfga kiritamiz. Endi ACa bo'lsa, jarayon shu joyda to'xtaydi. Agarda ASa bo'lsa, b( ASa) ni olamiz. Tushunarliki bu holda bA va b Sa. Endi barcha y( ASa) , bRy shartni qanoatlantiruvchi y elementlarni ikkinchi bir Sb sinfga kiritamiz. Agar endi (ACa ) Sb * bo'lsa, jarayonni shu joyda to'xtatamiz. Agarda(ACa ) Sb bo'lsa, s (ACa ) Sb ni olib cRz shartni qanoatlantiruvchi barcha z elementlarni birta Ss sinfga kiritamiz va hokazo davom etamiz. Tushunarliki, agar A chekli bo'lsa, chekli qadamdan keyin chekli sondagi Ca,,Cb ,,Cm sinflarga, agarda A cheksiz to'plam bo'lsa, chekli yoki cheksiz sondagi Ca , Cb, sinflarga ega bo'lamiz. Bu sinflarga ekvivalentlik sinflari deyiladi. Sinflarning hosil qilinishiga ko'ra a b bo'lsa, Ca Sb* bo'lib A* Ca Sb (1) bo'ladi. (1) ga A to'plamning o'zaro kesishmaydigan qism to'plamlar birlashmasiga yoyilmasi deyiladi. Bu holda A to'plamni ekvivalentlik sinflariga bo'laqlangan (faktorizatsiyalangan) deb ham yuritiladi. Masalan: 1). Z - butun sonlar to'plamidagi bo'linish munosabati(x-y) m ni olaylik (bu yerda m 0). Tushunarliki, bu munosabat butun sonlar tiplamidagi ekvivalentlik munosabati biladi, chunki: a) xZ , (x-x) m ; b) x,yZ lar (x- y) m dan (y-x)m ning bajarilishi kelib chiqadi; s) x,y,zZ lar uchun (x-y) m va (y-z) m larning o'rinli ekanligidan(x-z) m ning o'rinli ekanligi kelib chiqadi, ya'ni qaralaetgan munosabat butun sonlar to'plamidagi refleksiv, simmetrik va tranzitiv munosabatdir. Endi shu munosabat bo'yicha Zni ekvivalentlik sinflariga ajrataylik. Agar x = m q + k va y = mt + k bo'lsagina (x-y) m bo'ladi. Bu yerda k=0,1,2, m-1 bo'lgani uchun bu sinflar quyidagicha bo'ladi. . . . , - 3 m , - 2 m , - m , 0 , m, 2 m, 3 m , . . . ; ...