Elementar hodisalar to'plami sanoqsiz bo'lgan ehtimollar fazosi. O'lchovli fazolar

Elementar hodisalar to'plami sanoqsiz bo'lgan ehtimollar fazosi. Algebra va algebra. O'lchovli fa'zolar Reja: Algebra va algebra. Lemma. Borel algebra. Algebra - additivlik ta'riflari. Ehtimollar fazosi (kengaytirilgan manoda) (-algebra, ta'riflari) O'lchovli fazo, additivlik, Ehtimollar o'lchov xossalari. Teorema asosiy ta'riflari. 1. - ixtiyoriy to'plam (sanoqli, sanoqsiz) ta'rif 1. Faraz qilaylik, ixtiyoriy -biror to'plam qism to'plamlari sistemasi. -algebra deyiladi, agar 1) 2) 3) bajarilsa (2) shartda yoki , yoki bajarilishini talab qilsak etarli, chunki ta'rif 2: Faraz qilaylik ni qism to'plamlaridan iborat algebra chekli odditivlik o'lchov deyiladi. Ixtiyoriy da aniqlangan, qabul qiladigan qiymatlar to'plami bo'lgan to'plam funksiya additivlik o'lchov deyiladi, agarda ixtiyoriy 2 ta o'zaro kesishmaydigan va m to'plamlar uchun bo'lsa Agar chekli additiv o'lchov uchun bo'lsa, u holda chekli o'lchov deyiladi. Agar bo'lsa, u holda addtiv ehtimollikli o'lchov yoki additiv ehtimollik deyiladi. 2. Endi ehtimollar fazosiga ta'rif beramiz (kengaytirilgan manoda) ta'rif 3. Quyidagi uchlik, qaerda 1) nuqtalar to'plami. 2) -algebra ( ni qism to'plamlaridan iborat) 3) additivlik ehtimollik ( da aniqlangan) kengaytirilgan manoda ehtimollar fazosi deyiladi. ta'rif 4. 1) ni qism to'plamlari sistemasi algebra deyiladi, agarda algebra bo'lib, quyidagi shart baarilsa, 2) agar , sanoqlita to'plamlar uchun bo'lsa. (Bu yerda ham , yoki bo'lsa etarli) 3. ta'rif 5. fazo va uni qism to'plamlaridan iborat. algebra birgalikda, o'lchov fazo deyiladi. Hamda () bilan belgilanadi. ta'rif. [-ni qism to'plamlaridan iborat algebrada aniqlangan] chekli -additiv o'lchov sanoqli additiv (additiv) o'lchov, yoki (shunday o'lchov) deyiladi, agarda ixtiyoriy , , bo'lib, bajarilsa, 1) chekli -additiv o'lchov -chekli deyiladi, agar , ni quyidagi ko'rinishda yozish mumkin bo'lsa, 2) additiv o'lchov (-algebrada aniqlangan) uchun bo'lsa, u holda ehtimol chekli o'lchov yoki ehtimollikli o'lchov ehtimollik deyiladi. 4. Ehtimollikli o'lchov xossalari. va , u holda va , u holda o'rinli Isbot. Isbot. va Isbot. additivlik va bo'lsin u holda, Isbot. Quyidagicha to'plamlar tuzamiz: larni shunday tikladikki, ular o'zaro kesishmaydilar, yani va hamda iborat, u holda -additivligidan 5. Teorema. Faraz qilaylik (chekli) additiv to'plam funksiya -algebrada berilgan va bo'lsin. U holda quyidagi 4 ta shartlar ekvivalent. 1) -additiv ( ehtimollik) 2) yuqoridan uzluksiz, yani ixtiyoriy shunaqaki , u holda (1) 3) quyidan uzluksiz, yani ixtiyoriy shunaqaki , u holda (2) 4) nolda (0 da) uzluksiz, yani ixtiyoriy shunaqaki bo'lib, u holda (3) Isbot. 1)2) 2)3), yani (*) to'plamlar ketma-ketligi kamaymaydigan to'plamlar va to'plamlar xossasidan Shuning uchun 2) dan quyidagi o'rinli: (**) 3)4) tabiiy kelib chiqadi, haqiqat ham (3) 4)1) u holda Lekin ketma-ketli to'plam. kamayuvchi, yani yoki u holda 4 dan ...