Funksiya limiti

Funksiya limiti Reja: 1 Funksiya limiti ta'riflari. 2. Chekli limitga ega bo'lgan funksiyalarning хossalari. 3. Ajoyib limitlar. 4. Ekvivalent cheksiz kichik funksiyalar. 5. Ekvivalent cheksiz kichik 6. Funksiyalar jadvali. 7. Limitlarni hisoblash yo'llari. Biz I bobda sonlar ketma - ketligi va uning limitini o'rgandik. Endi haqiqiy argumentli funksiya limiti va ularning хossalari bilan tanishamiz. Funksiya limiti ta'riflari. funksiya Х to'plamda berilgan bo'lib, a nuqta Х to'plamning limit nuqtasi bo'lsin (umuman aytganda a nuqta Х to'plamga tegishli bo'lishi shart emas). Avvalo bu ta'rifning geometrik ma'nosini tekshirib ko'ramiz. x argumentning barcha qiymatlari funksiyaning tegishli qiymatlariga akslantiriladi. Oy o'qda funksiya qiymatlarini ko'rsatuvchi nuqtalar to'plamini hosil qilamiz. Oy o'qda ordinatasi ga teng nuqtani olamiz. Argumentning biror qiymatiga to'g'ri kelgan b nuqta funksiyaning qiymati bo'lishi mumkin, lekin bu nuqta funksiya qiymatlarining to'plamiga tegishli bo'lmasligi ham mumkin. (10-shakl). 10 - s h a k l. 11 - s h a k l. 12 - s h a k l. x argument a ga intilganda funksiya uchun b nuqta (son) limit bo'lishi yoki bo'lmasligini aniqlash uchun: 1) b nuqtaning radiusli atrofini iхtiyoriy ravishda tanlab olish kerak, bunda istagan ( shu jumladan, istagancha kichik) musbat son (10-shakl) va 2) a nuqta atrofining shunday δ radiusini izlab topish kerakki, argumentning δ atrofiga tushgan hamma qiymatlari funksiyaning atrofiga albatta tushadigan qiymatlarini (balki qiymatdan boshqa qiymatlarini) aniqlaydigan bo'lsin. (11-shakl). Qisqacha aytganda, a nuqtaning δ atrofidagi argumentning hamma qiymatlari b nuqtaning atrofiga qarashli nuqtalarga aks etiladi (11-shaklda funksiyaning grafigi ko'rsatilmagan). Shuni ham esda tutish zarurki, argument qiymatlaridan iborat to'plamning limit nuqtasi a dir, demak, u shu to'plamga tegishli yoki tegishli bo'lmasligi mumkin; birinchi holda mavjud, ya'ni ma'noga ega, ikkinchi holda esa ma'noga ega emasdir. Funksiya limitiga berilgan bu ta'rif Geyne ta'rifi deyiladi. Eslatma. Agar a ga intiluvchi ikkita va ketma - ketliklar olinganda mos va ketma - ketliklarning limiti turlicha bo'lsa, u holda funksiya da limitga ega bo'lmaydi. Agar da bo'lsa, u holda funksiyaning grafigida bu quyidagicha tasvirlanadi (12-shakl) tengsizlikdan tengsizlik chiqar ekan, u holda bu, a nuqtadan δ dan yiroq bo'lmagan masofada turuvchi barcha х nuqtalar uchun funksiya grafigining M nuqtalari va to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan, yoki 2 bo'lgan yo'l ichida yotadi. 13 - s h a k l. Agar o'ng limit va chap limit mavjud va teng, ya'ni b1=b2=b bo'lsa, u holda b, limitning yuqorida berilgan ma'nosida a nuqtadagi limitning o'zi bo'lishini isbotlash mumkin. Funksiyaning o'ng va chap limitlariga uning bir tomonli limitlari deyiladi. 7 - t a' r i ...