Funktsiyalarni interpolyatsiyalash. Lagranjning interpolyatsion formulasi. Ekstrapolyatsiya

funksiyalarni interpolyatsiyalash. Lagranjning interpolyatsion formulasi. Ekstrapolyatsiya Reja: Lagranjning interpolyatsion formulasi. Ekstrapolyatsiya. Teskari interpolyatsiya. Interpolyatsion formulalar uchun ishchi algoritmlar. Tayanch iboralar: Interpolyatsiya, interpolyatsion formula, interpolyatsiya tuguni, tizm, tizim determinanti, oshkor ko'rinish, fundamental ko'pxad, interpolyatsion ko'pxad, Lagranj ko'pxadi, interpolyatsiya koldik xadi, ektrapolyatsiya, teskari interpolyatsiya. 1. LAGRANJNING INTERPOLYATSION FORMULASI Topilishi lozim bo'lgan ko'pxadning ko'rinishini quyidagicha olaylik: Ln(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn (4.15) bu yerda ai (i =0,1,2, , p) - noma'lum o'zgarmas koeffitsiyentlar. Shartga ko'ra Ln(x) funksiya x0, x1, …, xn interpolyatsiyalash tugunlarida qiymatlarga erishadi. Buni hisobga olgan holda (4.15) dan quyida-gilarni topish mumkin: x0 interpolyatsiya tugunida Ln(x1) = a0 + a1x1 + a2x12 + … + anx1n va nixoyat xn interpolyatsiya tugunida Ln(xn) = a0 + a1xn + a2xn2 + … + anxnn Ushbu ifodalarni tenglamalar tizimi ko'rinishida yozsak: (4.16) bu yerda xi va yi (1=0,1,2, , p) - berilgan funksiyaning jadval qiymatlari. Bu tizimning determinanti x0, x1, x2, …, xn tugunlar ustma-ust tushmagan holda noldan farqli bo'ladi. Masala mazmunidan ravshanki, x0, x1, x2, …, xn nuqtalar bir-biridan farqli, demak bu determinant noldan farqlidir. Shuning uchun ham (4.16) tizim va shu bilan birga qo'yilgan interpolyatsiya masalasi yagona yechimga ega. Bu tizimni echib, a0, a1, …, an larni topib (4.15) ga kuysak, Ln(x) ko'pxad aniqlanadi. Biz Ln(x) ning oshkor ko'rinishini topish uchun boshqacha yo'l tutamiz. Avvalo fundamental ko'pxadlar deb ataluvchi Qi(x) larni, ya'ni (4.17) shartlarni kanoatlantiradigan n-darajali ko'pxadlarni ko'ramiz. (4.18) izlanayotgan interpolyatsion ko'pxad bo'ladi. (4.17) shartni kanoatlantiruvchi ko'pxad (4.19) ko'rinishida bo'ladi. (4.19) ni (4.18) ga kuysak, (4.20) ko'rinishdagi Lagranj interpolyatsion formulasiga ega bo'lamiz. Bu formulaning xususii xollarini ko'raylik: n=1 bo'lganda Lagranj ko'pxadi ikki nuqtadan utuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini beradi: Agar p=2 bo'lsa, u holda kvadratik interpolyatsion ko'pxadga ega bo'lamiz, bu ko'pxad uchta nuqtadan utuvchi va xertikal ukka ega bo'lgan parabolani aniqlaydi: Lagranj interpolyatsion formulasining boshqa ko'rinishini keltiramiz. Buning uchun ko'pxadni kiritamiz. Bundan hosila olsak, Kvadrat kavs ichidagi ifoda x = xi, va kj bo'lganda nolga ylanadi, chunki (xj - xi) ko'paytuvchi katnashadi. Demak, Shuning uchun ham, Lagranj koeffitsiyentini ko'rinishda yozish mumkin. Bunda esa Lagranj ko'pxadi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi (4.21) Endi tugunlar bir xil o'zoklikda joylashgan x1-x0 =x2-x1 = … =xn-xn-1=h xususiy xolniko'ramiz. Bu holda soddalik uchun x=x0+th almashtirish bajaramiz, u holda . bu yerda bo'lib, (4.21) Lagranj interpolyatsion ko'pxadi quyidagi ko'rinishni oladi: (4.22) Endi Lagranj interpolyatsion formulasining koldik, xadini baholashni ko'ramiz. Agar biror [a,b] oraliqda berilgan f (x) funksiyani Ln(x) interpolyatsion ko'pxad bilan almashtirsak, ular interpolyatsiya ...