Funktsiyalarni interpolyatsiyalash

funksiyalarni interpolyatsiyalash Reja: Masalaning qo'yilishi. CHekli ayirmalar va ularning xossalari. N'yutonning 1 interpolyatsion formulasi. N'yutonning 2 interpolyatsion formulasi. CHekli ayirmalar jadvali va N'yutonning interpolyatsion formulalari uchun ishchi algoritmlar. Tayanch iboralar: Interpolyatsiyalar, ayirma, chekli ayirma, yig'indi, n-tartibli ayirma, N'yutonning interpolyatsion formulalari, interpolyatsiya tugun, interpolyatsiya kadami, chiziqli, parabolik, analitik ko'rinish, koldik xad, orkaga qarab interpolyatsiyalash. 1. MASALANING QO'YILISHI Aksariyat hisoblash usullari masalaning qo'yilishida katnashadigan funksiyalarni unga biror muayyan ma'noda yaqin va tuzilishi soddarok bo'lgan funksiyalarga almashtirish g'oyasiga asoslangan. Bu bobda funksiyalarni yaqinlashtirish masalasining eng sodda va juda keng qo'llaniladigan qismi - funksiyalarni interpolyatsiyalash ma-salasi ko'rib chikiladi. Interpolyatsiya masalasining mohiyati quyidagidan iborat. Faraz kilaylik u=f(x funksiya jadval ko'rinishida berilgan bo'lsin: Y0 = f(x0), y1 = f(x1),…, yn = f(xn) Odatda interpolyatsiyalash masalasi quyidagicha ko'rinishda qo'yiladi: Shundai n-tartiblidan oshmagan R(x) = Rn(x) ko'pxad topish kerakki, P(xi) berilgan xi(i=0,1,1,…,n) nuqtalarda f(x) bilan bir xil qiymatlarni qabul kilsin, ya'ni P(xi) = yi. Bu masalaning geometrik ma'nosi quyidagidan iborat: darajasi p dan ortmaydigan shunday y = Pn (x) = a0xn + a1xn-1 + … + an (4.1) ko'pxad kurilsinki, uning grafigi berilgan Mi (xi, ui) (i = 0,1, … n) nuqtalardan utsin (9-rasm). Bu yerdagi xi (i=0,1,2,…n) nuqtalar interpolyatsiya tugun nuqtalari yoki tugunlar deyiladi. R(x) esa interpolyatsiyalovchi funksiya deyiladi. 9- rasm Amalda topilgan R(x) interpolyatsion formula f(x) funksiyaning berilgan x argumentning (interpolyatsiya tugunlaridan farqli) qiymatlarini hisoblash uchun qo'llaniladi. Ushbu operatsiya funksiyani interpolyatsiyalash deyiladi. (Agar x (a,b) bo'lsa interpolyatsiyalash x (a,b) bo'lsa, ekstrapolyatsiyalash deyiladi). 2. CHEKLI AYIRMALAR VA ULARNING XOSSALARI Faraz kilaylik argumentning o'zaro teng o'zoklikda joylashgan xi=x0+ih, xi = xi+1 - xi = h = const (h-jadval kadami) qiymatlarida f(x) funksiyaning moc ravishdagi yi=f(xi) qiymatlari berilgan bo'lsin. Birinchi tartibli chekli ayirmalar deb yi=f(xi+1) - f(xi) = yi+1 - yi (4.2) ifodaga ikkinchi tartibli chekli ayirmalar deb 2 yi=( yi) = yi+1 - yi = yi+2-2 yi+1 + yi (4.3) ifodaga va xokazo n-tartibli chekli ayirmalar deb n yi = (n-1 yi) = n-1 yi+1 - n-1 yi (4.4) ifodaga aytiladi. CHekli ayirmalarni quyidagi 4.1- jadval ko'rinishida kam olish mumkin. 4.1-jadval (4.2) dan quyidagiga egamiz yi+1= y1+yi = (1+) yi (4.5) Bu yerdan ketma-ket quyidagilarni keltirib chikaramiz: yi+2 = (1+)yi+1 = (1+)2 yi, yi+3 = (1+)yi+2 = (1+)3 yi …… yi+n = (1+)n yi N'yuton binomi formulasidan foydalanib, quyidagiga ega bo'lamiz: yi+n =yi +Cn1 yi + … +nyi Bundan esa: yoki (4.6) Masalan, (4.6) dan 2 yi= yi+2-2yi+1+yi, 3yi=yi+3-3yi+2+3yi+1-y1 va x.k. CHekli ayirmalar quyidagi xossalarga ega. 1.funksiyalar yig'indisining ...