Furye qatori

Furye qatori Reja: 1. Trigonometrik funksiyalar sistemasining ortogonalligi. 2. Eyler-Furye formulalari. 3. Ixtiyoriy davrli trigonometrik qator. 4.Furye qatori. 5. Uzluksiz funksiya uchun Furye qatori. 6. Juft va toq funksiyalar uchun Furye qatori. 1. TRIGONOMETRIK funksiyaLAR SISTEMASINING ORTOGONALLIGI Biz quyida va funksiyalar sistemasining ortogonalligini qaraymiz. ta'rif: Agar ikkita f(x) va funksiyalar ko'paytmasining chegaralari a va b dan iborat bo'lgan integrali nolga teng bo'lsa, bu funksiyalar (a, b) oraliqda ortogonal deyiladi. Teorema. Quyidagi 1, cos x , cos 2x, cos 3x,…, sin x, sin 2x, sin 3x,… (1) sistemadan olingan ixtiyoriy ikkita har xil funksiyalar (-) oraliqda ortogonal bo'ladi, ya'ni: (2) (3) . (4) Shuningdek, . (5) Bunda m va n lar ixtiyoriy natural sonlar bo'lib, m ≠ n dir. Agar (1) sistemadagi ikkita har xil funksiyalar o'rniga bir xil funksiyalar olinsa, u holda, birinchi funksiyadan tashqari barcha funksiyalarning - va oraliqda olingan integrali dan iborat bo'ladi. Birinchi funksiyaning integrali esa 2 dir, ya'ni: , (6) (7) (8) Bunda n = 1, 2, 3,… dir. (7) va (8) formulalar va almashtirishlar yordamida hosil qilinadi. Yuqoridagi (2)-(8) formulalar o'zunligi 2 dan iborat bo'lgan ixtiyoriy oraliqlar uchun o'rinlidir. Agar berilgan biror funksiyalar sistemasida har bir juft funksiya ortogonal bo'lsa, u holda, shu sistemaning o'zi ham ortogonal sistema bo'ladi. 1-misol. (-,) oraliqda f(x)=sin5x va (x)=cos2x funksiyalarning ortogonalligini tekshiring. Yechilishi: Berilgan funksiyalar ko'paytmasini (-,) oraliqda integrallaymiz: Bunda cos x funksiyaning juft ekanligi hisobga olindi. 2-misol. (-,) oraliqda f (x) =sin2x va f (x) =sin4x funksiyalarning ortogonalligini tekshiring. Yechilishi: Demak, berilgan funksiyalar ortogonal. 3-misol.oraliqda f(x)=sin2x va (x)=sin4x funksiyalarning ortogonalligini tekshiring. Yechilishi: 4-misol. (-2, 0) oraliqda ikkita bir xil funksiyalar ko'paytmasi cos23x ning ortogonalligini tekshiring. Yechilishi: 2. Eyler - Furye formulalari Faraz qilaylik, f(x) funksiya davriy bo'lib, uning davri 2 bo'lsin. Teorema. Quyidagi (1) trigonometrik qator x ning barcha qiymatlarida f(x) funksiyaga yaqinlashsin. Agar f(x) funksiya uchun integral mavjud bo'lsa, u holda, (1) qatorning koeffisiyentlari uchun quyidagi Eyler - Furye formulalari o'rinli bo'ladi: (2) Isboti: Ma'lumki, . (3) Ushbu tenglikni - va oraliqda integrallaymiz: (4) Oldingi paragrafdagi (2) formulaga asosan (4) tenglikning o'ng tomonidagi integralning birinchisidan tashqari, barcha integrallar nolga teng. U holda, quyidagiga ega bo'lamiz: ya'ni Demak, n=0 bo'lganda (2)-Eyler-Furye formulalarining birinchisini hosil qildik. Qolganlari ham shu yo'l bilan topiladi. Bunda (3) tenglik cosnx yoki sinnx ga ko'paytiriladi, so'ngra, integrallanadi. (3) tenglikni cos2x ga hadma - had ko'paytirib, integrallash natijasida quyidagini hosil qilamiz: (5) Buning o'ng tomonidagi, to'rtinchisidan tashqari barcha integrallar oldingi paragrafdagi (2), (3) va (4) ...