Halqa va algebralar, yarim halqa

Halqa va algеbralar, yarim halqa, - algеbra Reja: To'plamlar halqasi To'plamlar yarim halqasi Tayanch tushunchalar: To'plam halqa, to'plamlar algebrasi, to'plamlar yarim halqasi 1-Ta'rif. Agar H sistemaning istalgan ikkita A va B elementi uchun va munosabatlar o'rinli bo'lsa, u holda sistema to'plamlar halqasi (qisqacha halqa ) deyiladi. Izoh. Ushbu va va ayniyatlardan halqaning istalgan ikkita va elementi uchun va munosabatlar kelib chiqadi. Demak, halqaning istalgan ikkita va munosabatlar doimo o'rinli. Bundan, hususan, halqaning elementlari ustida qo'shish (ya'ni ) va ko'paytirish (ya'ni ) amallarini chekli sonda bajarish natijasida halqaning elementi olinishi kelib chiqadi. 2-Ta'rif. Agar to'plamlar sistemasining biro elementi va shu sistemaning istalgan elementi uchun tenglik o'rinli bo'lsa, u holda element sistemaning birlik elementi deyiladi. Izoh. Halqada birlik element yagonadir. 3-Ta'rif. Birlik elementga ega bo'lgan halqa to'plamlar algebrasi (qisqacha algebra) deyiladi. Misollar. 1. sistema to'plamning barcha qism to'plamlaridan tuzilgan sistema bo'lsin. Istalgan ikkita va uchun va munosabatlarning o'rinli ekanligi sistemaning ta'rifidan ko'rinib turibdi. Demak, sistema halqa tashkil etadi. toplam hamsistemaning elementi bo'lganligidan u sistema uchun birlik element bo'ladi. Demak, sistema ayni vaqtda algebra ham ekan. 2. sistema to'plamning chekli qism to'plamlaridan tuzilgan sistema bo'lsin. Bu sistema ham halqa, ammo bu sistemada birlik element yo'q. Demak, sistema halqa bo'lib, algebra emas. Quyidagi teorema halqa ta'rifidan kelib chiqadi. 1-Teorema. Istalgan sondagi halqalar sistemaning ko'paytmasi ham halqadir. Faraz qilaylik, sistema to'plamlar sistemasini o'z iciga olgan barcha halqalar sistemasi bo'lsin. Agar sistemaning biror sistemaning biror elementi uchun munosabat har qanday uchun bajarilsa u holda halqa sistemani o'z ichiga olgan minimal halqa deyiladi. 2-Teorema. Har qanday to'plamlar sistemasi uchun shu sistemani o'z iciga olgan yagona minimal halqa mavjud. Isbot. Avvalo sistema o'z ichiga olgan halqaning mavjudligini ko'rsatamiz. Buning uchun sistemaga kiruvchi barcha to'plamlarning yig'indisining orqali belgilaymiz: Agar to'plamning barcha to'plamlaridan tuzilgan sistemaning orqali belgilasak, bu sistemani tuzilishiga asosan halqa tashkil etadi. Hamda sistemani o'z ichiga oladi. Endi sistemani o'z ichiga olgan har bir halqada joylashgan barcha halqalardan iborat sistemani orqali belgilaymiz. U halqa 1-teoremaga asosan sistema halqa bo'lib, u teorema shartini qanoatlantiradi. Haqiqatdan, halqa sistemani o'z ichiga olgan ixtiyoriy halqa bo'lsin. U holda 1-teoremaga asosan halqa bop'lib, bu halqa sistemani biror elementi bo'ladi. Shu sababli halqaning tuzilishiga asosan munosabatlar o'rinlidir. Bu munosabatdan va ning sistemani o'z ichiga olgan ihtiyoriy halqaligidan teoremaning isboti kelib chiqadi. 4-Ta'rif. to'plamlar sistemasi uchun SH va har qanday va uchun bo'lib, shu sistemaning va elementlari munosabatni qanoatlantirganda sistemadagi o'zaro kesishmaydigan soni chekli elementlar topilsaki, ular uchun tenglik o'rinli bo'lsa, u holda sistema yarim ...