Hosila hisoblash qoidalari haqida tushuncha

Hosila hisoblash qoidalari REJA: Yig'indining hosilasi. Ko'paytmaning hosilasi. Bo'linmaning hosilasi Biz oldingi paragraflarda hosila tushunchasini turli fizik masalalarni yechishda, urinma tenglamasini yozishda foydalandik. Hosilaning boshqa tatbiqlarini kelgusida o'rganamiz. Bu degani har xil masalalarda uchrashishi mumkin bo'lgan turli xil funksiyalarning hosilalarini hisoblashni bilish zarurligini anglatadi. Ushbu paragrafda u(x) va v(x) funksiyalarning hosilalarini bilgan holda ularning yig'indisi, ko'paytmasi va bo'linmasining hosilalarini topishni o'rganamiz. Quyida keltirilgan teoremalar isbotida hosila topish algoritmidan, limitga ega bo'lgan funksiyalar ustida arifmetik amallar haqidagi teoremalardan foydalanamiz. Shuningdek u=u(x+x)-u(x) va v=v(x+x)-v(x) ekanligini hisobga olgan holda, u(x+x)=u(x)+u, v(x+x)=v(x)+v tengliklardan foydalanamiz. u(x) va v(x) funksiyalar (a,b) intervalda aniqlangan bo'lsin. 1. Yig'indining hosilasi. 1-teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalarning x(a,b) nuqtada hosilalari mavjud bo'lsa, u holda f(x)=u(x)+v(x) funksiyaning ham x nuqtada hosilasi mavjud va f'(x)=u'(x)+v'(x) (4.1) tenglik o'rinli bo'ladi. Isboti. 10. f(x)=u(x)+v(x). 20. f(x+x)= u(x+x)+ v(x+x)= u(x)+u+ v(x)+v. 30. y= f(x+x)- f(x)= u+v. 40. . 50. . Shunday qilib, (4.1) tenglik o'rinli ekan. Isbot tugadi. Misol. (x2+1x)'=(x2)'+(1x)'=2x-1x2. Matematik induksiya metodidan foydalanib, quyidagi natijani isbotlash mumkin: Natija. Agar u1(x), u2(x), ,un(x) funksiyalarning x nuqtada hosilalari mavjud bo'lsa, u holda f(x)= u1(x)+ u2(x+ +un(x) funksiyaning ham x nuqtada hosilasi mavjud va quyidagi formula o'rinli bo'ladi: f'(x)=( u1(x)+ u2(x+ +un(x))'= u'1(x)+ u'2(x+ +u'n(x) . 2. Ko'paytmaning hosilasi. 2-teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalar x(a,b) nuqtada hosilaga ega bo'lsa, u holda ularning f(x)=u(x)v(x) ko'paytmasi ham x(a,b) nuqtada hosilaga ega va f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) (4.2) tenglik o'rinli bo'ladi. Isboti. 10. f(x)=u(x)v(x). 20. f(x+x)=u(x+x)v(x+x)=(u(x)+u)(v(x)+v)= =u(x)v(x)+uv(x)+vu(x)+ uv. 30. y= f(x+x)- f(x)= uv(x)+vu(x)+uv. 40. . 50. == =u'(x)v(x)+u(x)v'(x)++u'(x)v. Bunda v(x) funksiyaning uzluksizligini e'tiborga olsak v=0 va natijada (4.2) formulaga ega bo'lamiz. 1-natija. Quyidagi (Cu(x))'=Cu'(x) formula o'rinli. Isboti. Ikkinchi teoremaga ko'ra (Cu(x))'=C'u(x)+Cu'(x). Ammo C'=0, demak (Cu(x))'=Cu'(x). Misollar. 1. (6x2)'=6(x2)'=62x=12x. 2. (x4)'=((x2)(x2))'=(x2)'(x2)+(x2)(x2)'=2x(x2)+(x2)2x=4x3. 3. (0,25x4-3x2)'=(0,25x4)'+(3x2)'=0,254x3+32x= x3+6x. 2-natija. Agar u1(x), u2(x), ,un(x) funksiyalar x nuqtada hosilaga ega bo'lsa, u holda ularning ko'paytmasi f(x)= u1(x)u2(x) un(x) ham x nuqtada hosilaga ega va quyidagi formula o'rinli bo'ladi: f'(x)= (u1(x) u2(x) un(x))'= u'1(x) u2(x) un(x)+ u1(x) u'2(x) un(x)++ u1(x) u2(x) u'n(x). 3. Bo'linmaning hosilasi. 3-teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalar x(a,b) nuqtada hosilaga ega, v(x)0 bo'lsa, u holda ularning f(x)=u(x)v(x) bo'linmasi x(a,b) nuqtada hosilaga ega va f'(x)= (4.3) formula o'rinli bo'ladi. Isboti. 10. f(x)=. 20. f(x+x)==. 30. y= f(x+x)- f(x)= -= 40. = 50. x0 da limitga o'tamiz, limitga ega funksiyalarning xossalari va 2-teorema isbotidagi kabi v=0 tenglikdan foydalansak == natijaga erishamiz, ya'ni (4.3) formula o'rinli ekan. Misol. Ushbu f(x)= funksiyaning hosilasini toping. yechish. = =. Shunday ...