Hosila va differensialni hisoblash qoidalari

Hosila va differensialni hisoblash qoidalari Reja: Hosila va differensialni hisoblash qoidalari Yuqori tartibli hosila va differensiallar Differensiallanuvchi funksiya uchun o'rta qiymat haqida teoremalar. Teylor formulasi. Lopital qoidasi Yuqori tartibli hosila va differensiallar 1. Differensiallanuvchi funksiyalar haqida teoremalar. Elemen-tar funksiyalar hosilalari jadvali Limitlar haqida teoremalar kabi, differensiallanuvchi funksiyalar haqida ham teoremalar mavjud. u(x) va v(x) funksiyalar x nuqtada differensiallanuvchi bo'lib, k biror-bir o'zgarmas son bo'lsa, u holda x nuqtada a) u(x) + v(x); b) k u(x); c) u(x) · v(x); d) funksiyalar ham differensiallanuvchi bo'ladi va quyidagilar o'rinli : 1) [u(x) + v(x)] = u(x) + v(x); d[u(x) + v(x)] = du(x) + dv(x). 2) [k u(x)] = k u(x); d[k u(x)] = k du(x). 3) [u(x) · v(x)] = u(x) · v(x) + u(x) · v(x); d[u(x) · v(x)] = u(x) · dv(x) + v(x) · du(x). 4) ; , ( v(x) ≠0). Funksiya hosilasini hisoblashda differensiallash qoidalaridan tash-qari, elementar funksiyalar hosilalari jadvalidan ham foydalaniladi. Misollar. Differensiallash qoidalari va hosilalar jadvalidan foydala-nib, quyidagi funksiyalar hosilalarini hisoblang: 1. . 2. . 1. . 2. 2. Murakkab funksiya hosilasi va differensiali y = f (u) va u = g(x) funksiyalarning superpozitsiyasidan iborat y = f [g(x)] murakkab funksiya berilgan bo'lsin. Agar u = g(x) funksiya x0 nuqtada differensiallanuvchi, o'z navbati-da y = f (u) funksiya u0 = g(x0) nuqtada differensiallanuvchi bo'lsa, u holda y = f [g(x)] murakkab funksiya ham x0 nuqtada differensiallanuv-chi bo'ladi va yoki y(x0) = f (u0) · g(x0). Murakkab funksiyaning erkli o'zgaruvchi bo'yicha hosilasi, shu funksiyani tashkil etgan (superpozitsiyalanuvchi) funksiya hosilalarining ko'paytmasiga teng. Murakkab funksiya differensiali uchun dy = y(x0) · dx = f (u0) · du tengliklar o'rinli, bu yerda du = g(x0) · dx. Murakkab funksiya birinchi tartibli differensialini hisoblash uchun uning biror o'zgaruvchi bo'yicha hosilasini shu o'zgaruvchining differensialiga ko'paytirish yetarli. Bun-da differensialni hisoblash shakli o'zgarishsiz qolib, o'zgaruvchilarning tanlanilishiga yoki ularning erkli yoki erksizligiga bog'liq emas.Ushbu xossa birinchi tartibli differensial shaklining invariantlik xossasi deyiladi. Misol. 1. funksiyaning birinchi tartibli hosilasi va differensialini hisoblaymiz: 2. y = xsin x (x 0) funksiya hosilasini hisoblash uchun, dastlab tenglikning ikkala tomonini logarifmlaymiz va so'ngra hosila olamiz: (lny) = (sin x · lnx) . Natijada, . 3. Yuqori tartibli hosilalar va differensiallar y = f(x) funksiya uchun birinchi tartibli hosila y aniqlangan bo'lsin. Funksiyaning ikkinchi tartibli y hosilasi u dan olinadigan hosila (agar uning mavjudlik sharti bajarilsa) sifatida aniqlanadi: y = (y). Yuqoridagi mulohazani davom ettirib, funksiyaning uchinchi, ...