Hususiy hosilali differensial tenglamalar uchun asosiy masalalarning qo'yilishi

Hususiy hosilali differensial tenglamalar uchun asosiy masalalarning qo'yilishi Reja: 1. Asosiy masalalarning qo'yiliushi. 2. Koshi masalasi va uning qo'yilishida harakteristikalarning ro'li. 3. Koshi Kovalevskaya teoremasi. 1. Asosiy masalalarning qo'yiliushi.Bizga yahshi ma'lumki, tebranish tenglamalari (1) issiqlik tarqalish tenglamasi (2) stasionar jarayonlar tenglamasi (3) ko'rinishda bo'ladi. Biror fizik jarayonni to'la o'rganish uchun bu jarayonni tasvirlayotgan tenglamalardan tashqari, uning boshlang' holatini va jarayon sodir bo'layotgan sohaning chegarasidagi holatini berish zarurdir. Matematik nuqtai nazaridan bu narsa differensial tenglamalar echimining yagona emasligi bilan bog'liq. Hususiy hosilalai differensial tenglamalar uchun umumiy echimi ihtiyoriy funksiyalarga bog'liq bo'lib, bu funksilarning soni tenglama tartibiga teng bo'ladi. Ihtiyoriy funksiyalar argumentlarning soni echimi argumentlarning sonidan bitta kam bo'ladi. Misollar: 1) tenglamaning echimi 2) tenglamaning yechimini topish uchun almashtirish bajaramiz Xuddi shunga o'xshash, agar va o'zgarmas sonlar bo'lsa tenglamaning umumiy echimi bo'ladi 3) Ushbu tenglamaning umumiy echimi bo'ladi. 4) bir jinsli bo'lmagan, tenglamaning echimi ko'rinishda bo'ladi 5) Uchinchi tartibli tenglamaning umumiy echimi dan iborat bo'ladi. Shunday qilib, aniq fizik jarayonni ifodalovchi achimni ajratib olish qo'shimcha shrtlarni berish zarurdir. Bunday qo'shimcha shartlar boshlang'ich va chegaraviy shartlardan iboratdir. Jarayon sodir bo'layotgan soha bo'lib, uning chegarasi bo'lsin. ni bo'laklari silliq sirt deb hisoblaymiz. bu asosi soha balandligi bo'lgan silindir bo'lsin, uning chegarasi yon sirti , quyi va yuqori asoslardan iborat. Е G ЦТ х2 C x1 S Differensial tenglamnalar uchun, asosan uch tipdagi masalalar bir-biridan farq qiladi. a) Koshi masalasi. Bu masala, asosan, giperbolik va parabolik tipdagi tenglamalar uchun qo'yiladi. soha butun fazo bilan ustma-ust tushadi, bu holda chegaraviy shrtlar bo'lmaydi. в) Chegaraviy masala elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo'yiladi, da chegaraviy shatrlar beriladi, boshlang'ich shartlar tabiiy bo'lmaydi. г) Aralash masala elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo'yiladi: bo'lib boshlang'ich va chegaraviy shratlar beriladi. 2. Koshi masalasi va uning qo'yilishida xarakteristikalarning roli. (1) tenglama uchun Koshi masalasi bunday qo'yiladi: Koshi masalasi: sinfga tegishli, yarim fazoda (1) tenglamani va da (4) boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya topilsin. (2) tenglama uchun Koshi masalasi quyidagicha qo'yiladi. Koshi masalasi: sinfga tegishli, yarim fazoda (2) tenglamani va (5) boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya topilsin. Keltirilgan Koshi masalasini umumlashtirish mumkin. Shu maqsadda o'zgaruvchili ikkinchi tartibli ushbu kvazichiziqli differensial tenglamani tekshiramiz: (6) Etarli siliq : sirt va bu sirtga urunma bo'lmagan, uning har bir nuqtasida biror yo'nalish berilgan bo'lsin. Koshi masalasi: sirtning biror atrofida (6) tenglamani va (7) Koshi shartlarini qanoatlantiruvchi funksiya topilsin. Bu umumlashtirilgan Koshi masalasidir. Koshi masalasi qo'yilishida sirtni xarakteristik sirt bo'lmasligi muhimdir. Agar sirt xarakteristik sirt bo'lsa, boshlang'ich shartlarda verilgan va funksiyalar o'zaro bog'langan ...