Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning differensial hisobi. Aniq integral

Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning differensial hisobi. Aniq integral Reja: Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning gradienti Aniq integral 1. Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning gradienti funksiyaning M0 nuqtadagi gradienti deb, koordinata-lari M0 nuqtadagi funksiyaning mos xususiy hosilalar qiymatlariga teng bo'lgan n o'lchovli vektorga aytiladi va ko'rinishda yoziladi: 1-misol. funksiyaning M0(1;-1) nuqtadagi gradientini toping. yechish. , , , Demak, grad =(-18, -1) ga teng bo'ladi. Gradientning asosiy hossasi: funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo'lib, - n o'lchovli birorta nolmas vektor bo'lsin. nuqtani qaraymiz. U holda, agar: 1) ushbu skalyar ko'paytma bo'lsa, u holda shunday T1 0 son mavjud bo'ladiki, barcha t, 0 t T1 lar uchun tengsizlik bajariladi; 2) skalyar ko'paytma bo'lsa, u holda shunday T2 0 soni mavjud bo'ladiki, barcha t, 0 t T2 lar uchun tengsizlik bajariladi. Berilgan funksiyaning nuqtada erishadigan qiymatidan katta bo'ladigan nuqtani topish uchun quyidagicha ish tutamiz: 1) ko'chish yo'nalishini tanlaymiz, ya'ni shunday vektor topamizki, natijada bo'lsin; 2) nuqtani qaraymiz va t 0 parametrni shunday tanlaymizki, bo'lsin. 2-misol. funksiyaning M0(-1;1) nuqtadagi qiymatidan katta bo'ladigan nuqtani toping. yechish. funksiyaning gradientini topamiz: . M0 nuqtadagi qiymati bo'ladi. Agar = (1,-1) bo'lsa, u holda bo'ladi. Mt(-1 + t; 1- t) nuqtani qaraymiz. U holda = - 8t2+32t-22 ga teng bo'ladi va t = 2 da ga teng. Demak, t = 2 da funksiya eng katta qiymatga erishadi. Agar t = 2 bo'lsa, Mt(1,-1) bo'ladi va bu nuqtada = 10 ga teng. M0 nuqtada esa = - 22 ga teng edi. Bir necha o'zgaruvchi funksiyaning ekstremumini topish gradientlar usulida gradientning asosiy xossasidan foydalaniladi. 2. Yuqori tartibli xususiy hosilalar Faraz qilaylik, M0 nuqta va uning atrofida funksiya xususiy hosilaga ega bo'lsin. Birinchi tartibli xususiy hosilalardan xi o'zgaruvchilar bo'yicha M0 nuqtada olingan xususiy hosilalar ikkinchi tartibli xususiy hosilalar deb aytiladi va quyidagicha belgilanadi: . Turli o'z-garuvchilar bo'yicha olingan xususiy hosilalarga aralash xususiy hosilalar deyiladi. Xuddi shuningdek, ikkinchi tartibli xususiy ho-silalardan olingan xususiy hosilalar uchinchi tartibli xususiy hosilalar deyiladi va h.k. 3-misol. funksiyaning barcha ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping. yechish. a) birinchi tartibli xususiy hosilalarni topamiz: ; b) ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni topamiz: , , . 3. funksiyaning lokal ekstremumlari. Statsionar nuqta. Ekstre-mumning zaruriy sharti. funksiya M0 nuqta r atrofi Sr(M0) da aniqlangan bo'lsin. Agar M0 nuqtaning Sr(M0) atrofiga tegishli barcha lar (M M0) uchun () munosabatlar bajarilsa, M0 nuqta lokal minimum (maksimum) nuqta deyiladi. Lokal maksimum va minimum nuqtalarga funksiyaning lokal ekstremum nuqtalari deb ataladi. Agar nuqtada funksiyaning gradienti ...