Kovariatsiya. Kovariatsiya koeffisienti

Kovariatsiya. Kovariatsiya koeffiseinti Tasodifiy miqdorlar orasida funksional bog'lanish bo'lishi mumkin. Shu bilan birga tasodifiy miqdorlar orasida boshqa turdagi bog'lanishlar ham bo'lishi mumkin.Bir miqdor qiymatining o'zgarishi boshqa miqdor taqsimotining o'zgarishiga olib kelishi mumkin. Bunday bog'lanish stoxastik yoki ehtimoli bog'lanishi deyiladi. Ikkita tasodifiy miqdor stoxastik bog'lanishi xarakteristikalaridan biri bu miqdorlar kovariasiyasidir. Ta'rif: ga va tasodifiy miqdor kovariasiyasi yoki korrelyatsion moment deyiladi. Unga va larning aralash markaziy momentga ham deyiladi. 1-teorema: Kovariasiyani hisoblash uchun quyidagi formula o'rinli: Isboti: 2-teorema: Agar va lar bog'lanmagan bo'lsa, . Bu teorema isboti 1-teoremadan, va larning bog'lanmaganligidan ni e'tiborga olsak, kelib chiqadi. Agar bo'lsa, va tasodifiy miqdorlar bog'liq bo'ladi. Kovariatsiya ta'rifi va matematik kutilma xossalaridan quyidagilar kelib chiqadi. (*) bu yerda va lar o'zgarmaslar. tasodifiy vektorning kovariasion matrisasi deb, matrisaga aytiladi, bu yerda Kovariasiya xossalaridan kovariasion matrisa simmetrikligi va uning diognal elementlari tasodifiy miqdorlarning dispyersiyalari ekanligi kelib chiqadi. Kovariasion matrisa determinantiga umumlashgan dispyersiya deyiladi. Umumlashgan dispyersiya n o'lchovli tasodifiy miqdor tarqoqlik darajasini xaraktyerlaydi. Kovariasion matrisa va o'rtachalar vektori tasodifiy vektorning asosiy sonli xarakteristikalaridir. Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz. 3-teorema: Agar tasodifiy miqdorlar uchun mavjud bo'lsa, u holda har qanday o'zgarmaslar uchun , tasodifiy miqdorlarning kovariasiyalar mavjud va va larning kovariasion matrisalar va lar tenglik bilan bog'langan, bu yerda esa matrisa transponyerlangani. Bu teoremadan bog'langan tasodifiy miqdorlar chiziqli kombinasiyasi dispersiyasini hisoblash uchun formulaga ega bo'lamiz. (1) Tasodifiy miqdor dispersiyasi manfiy bo'lmagan son bo'lganligi uchun, har qanday lar uchun Bundan ko'rinadiki, har qanday kovariasion matrisa manfiymas aniqlangan. formuladan , deb olsak, quyidagiga ega bo'lamiz. va deb olsak, . . Demak, (2) Agar va bog'lanmagan bo'lsalar . (1) formulada () deb olsak, tasodifiy miqdorlar yig'indisi dispersiyasi uchun quyidagi formulaga ega bo'lamiz: (3) Agar tasodifiy miqdorlar bog'lanmagan bo'lsalar, kovariasion matrisa ga teng bo'ladi. Bu holda (3) ko'rinishni oladi. Agar , deb belgilasak kovariatsiya xossalaridan . , tasodifiy miqdorlar bog'liqligi sifat xarakteristikasi sifatida korrelyasiya koeffisienti dan foydalaniladi, u va normallangan tasodifiy miqdor kovariasiyasiga teng. . Demak korrelyasiya koeffisienti (4). Bu yerdan (5) Bog'lanmagan tasodifiy miqdor , lar uchun , chunki . Teskari tasdiq o'rinli emas, bog'liq tasodifiy miqdorlarning ham korrelyasiya koeffisienti nolga teng bo'lishi mumkin. Masalan; Agar , , bo'lsa, va bog'langan, ularning korrelyasiya koeffisienti nolga tengligini ko'rsatamiz. bo'lgani uchun, , Bundan Demak, . va tasodifiy miqdorlarning korrelyasiya koeffisienti nolga teng bo'lsa, ular korrelyasion bog'lanmagan deyiladi. 4-teorema: Korrelyasiya koeffisienti absalyut qiymati bo'yicha birdan katta bo'lolmaydi: (5). Isboti: bo'lsin. U holda o'rinli bo'lganligi uchun va hamda va dan Bu tengsizlikdan va larga ega bo'lamiz. Bulardan ...