Kvadratik shakllar va ularni kanonik ko'rinishga keltirish

Kvadratik shakllar va ularni kanonik ko'rinishga keltirish Reja: Rn fazoda nuqtalar to'plami Rn fazoda yaqinlashish l. Musbat matritsalar. Ularning xos qiymatlari va xos vektorlarining xossalari Har bir koordinatasi musbat vektorga musbat vektor deyilsa, har bir elementi musbat sonlardan iborat matritsaga esa musbat matritsa de-yiladi. A musbat matritsa xos qiymatlari va xos vektorlari quyidagi xossalarga ega: 1) A matritsaning shunday bir λ* 0 xos qiymati mavjudki, uning har qanday λ xos qiymatlari uchun λ* | λ | munosabatlar o'rinli; 2) Har qanday μ λ* uchun μE - A matritsa maxsusmas va (μЕ- А)-1 matritsa musbat; 3) λ* xos qiymatga tegishli x* xos vektor musbat; 4) x* xos vektordan tashqari koordinatalari nomanfiy xos vektorlar mavjud emas. 2. Kvadratik shakllar va ularni kanonik ko'rinishga keltirish n ta x1, x2 ,, xn noma'lumlarning ikkinchi darajali bir jinsli φ(x) = a11 x12 + a12 x1 x2 + + a1n xn + + a21 x1x2 + a22 x22 + + a2n x2 xn+ …… + аn1хnх1+аn2хnх2+ + аnnxn2 = = (1) ko'phadiga noma'lumlarning kvadratik shakli deyiladi. Bu yerda, аik = aki (I ≠ k, i, k = 1,2,, n). (1) kvadratik shakl koeffitsiyentlaridan quyidagi simmetrik A matritsani va noma'lumlar satr - matritsasini tuzamiz: X = (x1, x2, ,xn). Kvadratik shakl matritsa ko'rinishida quyidagicha yoziladi: φ(X) = X A XT. Misol. φ (x1, x2, x3) = x12 - 3x22 + 5x32 - 4x1x2+6x1x2 - 8x2x3 kvadratik shakl matritsasi: Agar kvadratik shakl (x1, x2 , , xn) = X noma'lumlari X = SY maxsusmas chiziqli almashtirish vositasida yangi Y = (y1, y2 , , уn) noma'lumlar bilan almashtirilsa, u holda uning ko'rinishi yangi y1, y2 , , уn noma'lumlarda φ1(y1, y2 , , уn) = Y (STA S) YT ko'rinishni oladi. Bu yerda, St A S - o'xshash simmetrik matritsa. (1) kvadratik shakl rangi deb, A matritsa rangiga aytiladi. Kvadratik shakl rangi uning nom'lumlari chiziqli maxsusmas almashtirilganda o'zgarmaydi. Kvadratik shaklni kanonik ko'rinishga keltirish deganda uning ko'rinishini φ1(y) = λ1y12 + λ2y22 + … + λnyn2 (2) shaklga keltirish tushuniladi. (2) kanonik ko'rinishdagi kvadratik shakl rangi noldan farqli λ2 lar soniga teng. A matritsa haqiqiy elementli simmetrik matritsa bo'lgani uchun (1) kvadratik shaklni (2) kanonik ko'rinishga aylantirish masalasi simmetrik chiziqli almashtirish matritsasini diagonal ko'rinishga aylantirish masa-lasiga keltiriladi. Har bir kvadratik shakl uchun uning noma'lumlarini shunday bir chiziqli maxsusmas X = Q Y almashtiish tanlash mumkinki, bu yerda Q - ortogonal matritsa, ...