Kvadratur formulalarni qo'llash tuqrisida ayrim mulohazalar. Runge qoidasi

Kvadratur formulalarni qo'llash tuqrisida ayrim muloqazalar. Runge qoidasi Biz oldingi paragraflarda bir qancha kvadratur formulalar ko'rdik. Konkret funksiyalarni taqribiy integrallash paytida konkret kvadratur formulani tanlash katta ahamiyatga ega. Bunday tanlash ko'p jihatlarga: integrallanuvchi funksiyaning xossasiga, uning berilishiga, hisoblovchining qo'l ostidagi hisoblash quroliga, talab qilinadigan aniqlikka bog'liq. Agar integrallanuvchi funksiya qiymatlari jadvali bilan berilgan bo'lsa, u holda shunday kvadratur formulani qo'llash kerakki, unda shu tugun nuqtalardagi funksiyaning qiymatlari qatnashsin. Agar funksiya o'zining grafigi bilan berilgan bo'lsa, u holda teng koeffisiyentli kvadratur formulani ishlatish ma'quldir. Chunki funksiya qiymatlaridan tuzilgan chiziqli kombinatsiya barcha koeffisiyentlari o'zaro teng bo'lgandagina eng kichik tasodifiy xatoga ega bo'ladi. Tez tebranuvchi funksiyalarni integrallash katta qiyinchiliklar tug'diradi. Bunday funksiyalarni integrallash uchun maxsus formulalar yaratilgan. Ayrim hollarda bo'laklab integrallash ham yaxshi natijaga olib kelishi mumkin. Masalan, integralni N yetarlicha katta bo'lganda integrallash talab qilinsin. U holda hisobiga integral ostidagi funksiya tez tebranuvchi bo'ladi. Bu yerda agar f(x) integrallash oralig'ida 2n-tartibli uzluksiz hosilaga ega bo'lsa, u holda 2n marta bo'laklab integrallaymiz: Agar N yetarlicha katta bo'lsa, u holda ikkinchi integral oldidagi ko'paytuvchi yetarlicha kichik bo'ladi va ikkinchi integralni berilgan integralga nisbatan kichikroq aniqlikda ham hisoblash mumkin. Integrallash oralig'ida funksiyaning xossalarini o'rganish katta ahamiyatga ega. Chunki funksiya xossalarini hisobga olmasdan qar qanday kvadratur formula qo'llanila berilsa, katta xatolarga duch kelinishi mumkin. Agar tugunlar nomuvofiq joylashgan bo'lsa, u holda kvadratur formula bema'ni natijaga olib keladi. 5-rasm Masalan, 5-rasmda tasvirlangan y=f(x) funksiyani integrallash uchun teng uzoklikda joylashgan а = х0, хх, х2, х3, х4 = b tugunlarni olib besh nuqtali Nyuton-Kotes formulasidan foydalansak kvadratur yig'indining qiymati musbat chiqadi. Ko'rinib turibdiki, integralning qiymati manfiy chiqishi kerak. Ikkinchi misol, aytaylik ixtiyoriy formula bilan f(x) = N[(x - х1)(х - хn)]2 funksiyani integrallamoqchi bo'lsak, ko'rinib turibdiki, N yetarlicha katta bo'lganda integralning qiymati yetarlicha katta bo'lib, kvadratur yig'indi esa nolga teng. Funksiya xossalarini o'rganish yana shu tomondan ham muhimki, agar funksiyaning silliqligi yuqori bo'lmasa, u holda qoldiq hadida yuqori tartibli hosilalar qatnashadigan formulalarni qo'llash ma'noga ega emas. Bunday holda 7-§ da ko'rsatilganidek soddaroq kvadratur formulalardan foydalanish ma'quldir. Funksiya tekshirilgandan keyin integrallash xossalari oralig'ini maqbul ravishda qismlarga bo'lib, qar bir qism uchun o'ziga xos kvadratur formulasini qo'llash ma'quldir. Funksiya tez o'zgaradigan oraliqchalarda tugunlarni tig'izrok olib, sekin o'zgaradigan qismlarida esa tugunlarni siyrak olish kerak. Bundan tashqari, integrallarni qo'lda hisoblashda soddaroq kvadratur formulalar ishlatiladi. Chunki, Gauss tipidagi, koeffisiyentlari va tugunlari ko'p xonali rahamlar bilan beriladigan formulalarni qo'llash ancha qiyinchilik tug'diradi. Aksincha, bunday formulalar kompyuterlar yordamida hisoblashda foydalaniladi. Shuning uchun ham, ko'p kompyuterlarda ...