Matematik induksiya prinsipi

Matematik induksiya prinsipi Agar berilgan natural n ga soniga bog'liq bo'lgan А(n) tasdiq, n=1da o'rinli va n=k ( k- ixtiyoriy natural son) o'rinli ekanligidan , keyingi qadam n=k+1 uchun o'rinli bo'lishi isbotlansa , u holda А(n) tasdiq ixtyoriy natural n uchun o'rinli deb qaraladi. Ba'zi hollarda p- fiksirlangan natural son o'rinli bo'lgan tasdiqni np hollarda isbotlash talab etiladi . Bunday hollarda matematik induksiya quyidagicha ta'kidlash mumkin Agar A(n) tasdiq n=p uchun o'rinli bo'lib , agar ixtiyoriy kp uchun А(k)А(k+1) bajarilsa , u holda А(n) tasdiq ixtiyoriy natural np uchun o'rinli bo'ladi. Matematik induksiya usulidan foydalainib isbotlash quyidagicha bo'ladi: n=1 hol uchun A(1) tasdiqning to'g'riligi tekshirib ko'riladi. Bu matematik iduksiyaning bazasi deyiladi . n=k da o'rinli deb qarab , n=k+1da o'rinli bo'lishi isbotlanadi, yani А(k)A(k+1) bo'lishi isbotlanadi . Bu induksion qadam deyiladi. 1- misol Ixtiyoriy natural n uchun isbotlang 1+3+5+…+(2n-1)=n2. Yechish : 1) Formula n=1 da o'rinli bo'lishini tekshiramiz n=1=12 . A(1) =12 o'rinli ekan 2) А(k)A(k+1) kelib chiqishini isbotlaymiz. Qandaydir n=k da ( k -ixtiyoriy natural son) formula o'rinli bo'lsin. 1+3+5+…+(2k-1)=k2. n=k+1 keyingi natural k+1 sonda ham 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2 o'rinli bo'lishini isbotlaymiz Haqiqatan 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)= [ 1+3+5+…+(2k-1)] +2k+1= k2+2k+1=(k+1)2 Demak, А(k)А(k+1) isbotlandi. Matematik induksiyaga asosan , 1+3+5+…+(2n-1)=n2 formula ixtiyoriy n natural son uchun o'rinli 2 - Misol Quyidagi tenglikni isbotlang : , bu yerda Yechish : 1) n=1 da tekshiramiz 2) Qaysidir natural k -uchun n=k da tenglik o'rinli deb , n=k+1 uchun bo'lishini isbotlaymiz Haqiqatan Demak, А(k)A(k+1) o'rinli. Matematik induksiya prinsipiga asosan , bu yerda ixtiyoriy n da o'rinli 3- Misol Qavariq n- burchakning diagonallari soni dn=n(n-3)2 ga teng bo'lishini isbotlang Yechish : 1) n=3 da formula o'rinli ekanligini tekshiramiz d3=0(3-3)2=0 , haqiqatan uchburchakda diagonallar yo'q soni nolga teng 2) Aytaylik , qandaydir qavariq k- burchak uchun dk =k(k-3)2 diagonali bo'lsin qavariq (k+1) burchak uchun diagonallar soni dk+1=(k+1)(k-2)2 ga teng bo'lishini isbotlaymiz. A1A2A3…AkAk+1 qavariq (k+1) burchak bo'lsin. Unda A1Ak diagonalni o'tkazamiz. (k+1) burchakdagi diagonallar sonini sanash uchun k burchakdagi diagonallar soniga k-2 ta Ak+1 uchdan chiquvchi diagonallar sonini va 1 ta A1Ak diagonalni qo'shish yetarli . Demak dk+1=dk +(k-2)+1=k(k-3)2+k-1=(k+1)(k-2)2. Shunday qilib, А(k)A(k+1) o'rinli ekan. Matematik induksiyaga ko'ra qavariq n- burchakning diagonallari soni dn=n(n-3)2 ga teng 4 - misol Ixtiyoriy n natural son uchun 12+22+32 +…+n2 =n(n+1)(2n +1)6. tenglik o'rinli bo'lishini isbotlang Yechish : 1) n=1 da, x1=12=1(1+1)(2+1)6=1. demak n=1da formula o'rinli 2) n=k da formula o'rinli bo'lsin xk =k2=k(k+1)(2k+1)6. 3) n=k+1 da o'rinli bo'lishini isbotlaymiz xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)6. xk+1=12+22+32 +…+k2+(k+1)2 =k(k+1)(2k+1)6+ +(k+1)2=(k(k+1)(2k ...