Optimal kvadratur formulalar

Optimal kvadratur formulalar Berilgan integralni u yoki bu kvadratur formula yordamida hisoblash paytida asosiy mehnat funksiyaning kvadratur formula tugunlaridagi qiymatlarini hisoblashga sarflanadi. Shunday ekan, integralni hisoblashda kerakli aniqlikka, imkon boricha kam mehnat sarflab erishishga intilish tabiiydir, boshqacha aytganda berilgan integralni tugunlari soni mumkin qadar kam bo'lgan formula bo'yicha hisoblash maqsadga muvofiqdir. Agar integrallanuvchi f(x) ni darajasi yuqori bo'lgan ko'phadlar bilan ham yaqinlashtirish mumkin bo'lsa, u holda olingan paragraflarda ko'rilgan algebraik darajasi eng yukori kvadratur formulalar yaxshi natija beradi. Lekin uncha silliq bo'lmagan funksiyalar uchun bu formulalar yaxshi natija bermaydi. Odatda bunday funksiyalar uchun aniqligi uncha katta bo'lmagan to'g'ri to'rtburchaklar, trapetsiyalar formulalari yaxshi natija beradi. Shuning uchun ham funksiyalarning muhim sinflari uchun shunday formulani topish kerakki, bu formula berilgan sinfning barcha funksiyalari uchun boshqa formulalarga nisbatan eng kichik qoldiqqa ega bo'lsin. Aniqroq aytganda, masala quyidagicha qo'yiladi. Biror [a, b] oraliqda aniqlangan funksiyalar sinfi Н berilgan bo'lsin. Butun Н sinfda kvadratur formulaning qoldiq hadi deb ifodaga aytiladi. Uning quyi chegarasi qaralayotgan sinfda kvadratur formula xatosining optimal bahosi deyiladi. Agar shunday kvadratur formula mavjud bo'lsaki, uning uchun Rn(H) = Wn(H) tenglik bajarilsa, bunday formula qaralayotgan sinfda optimal yoki eng yaxshi formula deyiladi. Ikkita sinf misolida optimal formula tuzishni ko'rib chiqamiz. Avval [0,1] oraliqda uzluksiz va birinchi hosilasi bo'lakli uzluksiz hamda |f '(x)| L tengsizlikni qanoatlantiruvchi С1(L) funksiyalar sinfini qaraymiz. Qaralayotgan kvadratur formula f(x) = const uchun aniq bo'lishini, ya'ni (7.2) tenglik bajarilishini talab qilamiz. Aks holda f(x) = C uchun bo'lib, barcha f(x) = const funksiyalar qaralayotgan sinfda yotadi va demak Ko'rinib turibdiki, bunday kvadratur formulaning optimalligi haqida gap bo'lishi mumkin emas. Ravshanki, ni (7.3) ko'rinishda yozish mumkin va aksincha, f(x) ixtiyoriy son bo'lib, bo'lakli-uzluksiz va bo'lsa, u holda (7.3) tenglik funksiyani aniqlaydi. (7.1) - (7.2) kvadratur formulaning f(x)= const uchun aniqligini hisobga olib, quyidagiga ega bo'lamiz: bu yerda Shunday qilib, bu yerda Kn(t) funksiya Rn(t) qoldiqning yadrosi deyiladi va u quyidagiga teng: Shuningdek (7.4) dan ko'rinadiki Kn(t) yadro f(x) funksiyaga bog'liq bo'lmay, balki faqat kvadratur formulaning tugunlari хк va koeffitsientlari Ак largagina bog'liqdir. Kn(t) ning grafigi bo'lakli-chiziqli bo'lib, хк tugunlarda sakrashi Ак ga teng bo'lgan birinchi jins uzilishga ega. C1(L) funksiyalar sinfida Rn(f qoldiq had uchun bahoga ega bo'lamiz. Endi ekanligini ko'rsataylik. Quyidagi funksiya bo'lakli-uzluksiz hosila '(х) = L sign Kn (t)ga ega, '(х) = L(xxk), ya'ni u qaralayotgan sinfda yotadi va Bundan ma'lum bo'ladiki, qaralayotgan sinfda kvadratur formula xatosini minimallashtirish quyidagi metrikada 1-t funksiyani (7.5) kurinishdagi funksiya bilan eng yaxshi yaqinlashtirish ...