Xarakteristik funksiyalar

Xarakteristik funksiyalar (,F,P) ehtimollik fazosida tasodifiy miqdor berilgan bo'lsin. Ta'rif: tasodifiy miqdorning matematik kutilmasiga tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi deyiladi va kabi belgilanadi, bu yerda t haqiqiy son. Agar tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo'lsa, bo'ladi. Agar zichlik funksiyaga ega bo'lgan uzluksiz tasodifiy miqdor bo'lsa, bo'ladi, bu esa funksiya uchun Fure almashtirishdir. Agar diskret bo'lsa, . ekanligidan ixtiyoriy tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi mavjudligi kelib chiqadi. Bog'liq bo'lmagan tasodifiy miqdorlar yig'indisi taqsimotini o'rganishda xarakteristik funksiyalar usuli qulay usullardan hisoblanadi. Xarakteristik funksiyasining xossalarini qarab chiqamiz. 10 . Ixtiyoriy tasodifiy miqdor uchun va barcha lar uchun Bu xossaning isboti quyidagilardan kelib chiqadi: =, 20. Agar a va b lar o'zgarmaslar bo'lib bo'lsa, (t) = eitb (at). Isboti: Ta'rifga asosan: . 30. Ikkita bog'lanmagan tasodifiy miqdorlar yig'indisining xarakteristik funksiyasi qo'shiluvchilar xarakteristik funksiyalari ko'paytmasiga teng: Isboti: va lar bog'lanmagan tasodifiy miqdorlar bo'lsinlar, u holda va tasodifiy miqdorlar ham bog'lanmagan tasodifiy miqdorlar bo'ladilar. Matematik kutilmaning xossasiga asosan Natija: Agar va har bir qo'shiluvchi qolganlari yig'indisiga bog'liq bo'lmasa, 40. xarakteristik funksiya da tekis uzluksiz. Isboti: Oldin berilgan uchun, A ni shunday tanlaymizki, so'ngra ni shunday tanlaymizki, bo'lsin, natijada bo'ladi. 5o. Bu yerda , ning kompleks qo'shmasi. Bu xossaning isboti tenglikdan kelib chiqadi. Quyidagi Poya teoremasini isbotisiz keltiramiz. 6o . Poya teoremasi, ,() quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya bo'lsin: a) 0, (0)=1, va t da (t)0. b) funksiya uzluksiz, juft va botiq. Bundan funksiya biror taqsimot funksiyaning xarakteristik funksiyasi bo'ladi. 1- teorema. Agar tasodifiy miqdor n-tartibli absolyut momentga ega bo'lsa, xarakteristik funksiya n marta diffyerenstiallanuvchi va k n uchun (2) va (3) bu yerda t0 da va barcha t lar uchun Isboti: Xarakteristik funksiyasi k marta formal diffyerenstiallash quyidagiga olib keladi: (4) bo'lganligi uchun teorema shartidan (4) integralning mavjudligi va differensiallashning qonuniyligi kelib chiqadi. (4) da deb olsak kelib chiqadi. (3) ni isbotlash uchun Teylor formulasidan foydalanamiz. Ma'lumki, Shuning uchun bu yerda va - tasodifiy miqdorlar va . (3) ga ega bo'lish uchun oxirgi tenglikning ikkala tomonidan matematik kutilma olish kyerak. Endi ayrim muhim taqsimotlarning xarakteristik funksiyalarini qaraymiz. 1- misol. Agar bo'lsa, 2- misol . bitta tajribada hodisa ro'y berishlar soni, hodisaning ro'y berish ehtimoli , ro'y bermaslik ehtimoli bo'lsin. U holda 3 - misol. ta bog'lanmagan tajribalarda hodisa ro'y berishlari soni, har bir tajribada hodisa ro'y berish ehtimoli , ro'y bermaslik ehtimoli bo'lsin (). bilan tajribada hodisa ro'y berish sonini belgilasak, va xarakteristik funksiyaning xossasiga asosida 4. tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasini topamiz. Bu tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi va xarakteristik funksiya ...