Chekli tor uchun Fure metodi

Chekli tor uchun Fure metodi Reja: O'zgaruvchilarni ajratish metodi yoki Fure metodi haqida. Fure metodi yordamida ikki uchi mahkamlangan torning erkin tebranish tenglamasini yechish. Xulosa. Matematik fizika tenglamalarini yechishda ko'p qo'llaniladigan metodlardan biri o'zgaruvchilarni ajratish metodi yoki Fere metodidir. Bu metod yordamida ikki uchi biriktirilgan torning erkin tebranish tenglamasini yechishni ko'raylik. Bizga (1) tenglamaning (2) boshlang'ich shartlarni va chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish kerak. (1)ning yechimini biri faqat t ning funksiyasi 2-si faqat x ning funksiyasi bo'lgan ikkita funksiya ko'paytmasi shaklida izlaymiz, yani (4) ni (1) ga qo'ysak, ga ega bo'lamiz Bu tenglamaning chap tomonini faqat t ga, o'ng tomoni faqat x ga bog'liq bo'lgani uchun, bu nisbatlar o'zgarmas songa teng bo'lishi kerak, yani Bundan (5) (6) bir jinsli oddiy 2-tartibli differensial tenglamaga ega bo'lamiz. (1) tenglamaning (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi t ning ixtiyoriy qiymatida bo'ladi. Bundan T(t)=0 desak, u(x,t)=0 yani (1) tenglama trivial yechimga (u=0) ega bo'lamiz. Bizga travial bo'lmagan yechim kerak, bu holda deb olamiz. Demak, X(x) funksiyani topish uchun quyidagi masalani yechishga kelib qoldik. tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish kerak. yechimniko'rinishda izlaymiz va xarakteristik tenglamaga ega bo'lamiz. (deb belgiladik) Bu yerda bir necha hollar bor. 1)bo'lsin, bu holda yechim bo'ladi. shartga asosan shuning uchun Bu holda nol yechimga ega bo'ldik. 2)bo'lsin. Bu holda yechim bo'ladi. Bu holda ham travial yechimga ega bo'ldik. 3)bo'lsin. Bu holda yechim bo'ladi. Chegaraviy shartlarga asosan: bo'lishi kerak, aks holda yana travial yechimga ega bo'lamiz. Shuning uchun bo'lishi kerak. k=0 da yana travial yechim hosil bo'ladi. deb belgilanadi. - xarakteristik sonlar, Xk(x) xarakteristik funksiyalar deyiladi. xarakteristik songa funksiya mos keladi. Bu holda (5) tenglama quyidagi ko'rinishga keladi. Utgan darslarga asosan uning umumiy yechimi (8) lar ixtiyoriy o'zgarmas sonlar. (7),(8) ni (4) ga qo'ysak (9) hosil bo'ladi, bunda . (1) tenglama chiziqli, bir jinsli bo'lgani uchun (9)ning yig'indisi (10) ham (1)ning yechimi bo'ladi. Bunda (10) qator yaqinlashuvchi hamda qatorning hadlari ikki marta differensiallanuvchi deb faraz qilamiz. xususiy yechimlar (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantirgani uchun ularning yig'indisi ham (3) egaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Endi ixtiyoriy va ixtiyoriy o'zgarmaslarni shunday topish kerakki, (10),(2) boshlang'ich shartlarni qanoatlantirsin. (11) (12) (11),(12) lardan ko'rinadiki, lar , o'o'íêo'èÿyoàðíè (0,l) îðàyoèqäà o'àqào' ñèío'ñyoàð á¢éè÷à Ôo'ðüå qào'îðèãà ¸éèyoìàñèäàãè êîýo'o'èo'èåío'yoàðäèð. Ôåðüå êîýo'o'èo'èåío'yoàðèíè o'îïèø o'îðìo'yoàñèãà àñîñàí (13) (14) (13),(14) larni (10) ga qo'yib (1) tenglamaning (2), (3) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topamiz: (15) Endi (10) yani å÷èìíè o'èçèê ìàúíîñèãà o'¢o'o'àéìèç. èo'o'è¸ðèé ¢çãàðìàñ ¢ðíèãà ¢çãàðìàñyoàðíè qo'éèäàãè o'îðìo'yoàyoàð îðqàyoè êèðèo'àéyoèê. U holda (16) (16) dagi har bir ...