Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning to'g'ri metodlari. Teskari matritsani topish

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning to'g'ri metodlari. Teskari matritsani topish Reja: Gauss metodi . Hisoblash formulalari . Amallar sonini hisoblash . Gauss metodining qo'llanish sharti . Gaussning bosh elementni tanlash metodi . Gauss metodidan foydalanib determinantni hisoblash . Teskari matritsani topish . Chiziqli tenglamalar sistemasining boshlang'ich shartlarning o'zgarishiga sezgirligi . Chiziqli tenglamalar sistemasining turg'unligi . Sezgirlik soni . Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss metodi bilan yechishda yaxlitlash xatoligining yechimga ta'siri . 1.Gauss metodi. Ax=f (1) chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo'lsin. Bu yerda A - n x n -matritsa, x=(x1,x2,,xn)T- topilishi lozim bo'lgan, f-berilgan vektorlar. A matritsaning determinanti noldan farqli deb faraz qilinadi.Unda (1)- sistemaning yechimi mavjud va yagona bo'ladi. Gauss metodining asosiy g'oyasi (1) - sistemani ekvivalent almashtirishlar bilan to'g'ri to'rtburchakli sistemadan uchburchakli sistemaga olib kelishdan iborat. (1) - sistemani tenglamalar ko'rinishida yozamiz: a11x1+a12x2++a1nxn=f1, a21x1+a22x2++a2nxn=f2 , (2) an1x1+an2x2++annxn=fn. a110 deb faraz qilamiz, aks holda tenglamalar o'rnini almashtirish va qayta belgilash bilan sistemani shu ko'rinishga keltirish mumkin. Birinchi tenglamani a11 -ga bo'lib x1+s12x2++s1nxn=y1, (3) tenglamani hosil qilamiz, bu yerda Endi (2) - sistemaning qolgan tenglamalarini qaraymiz: ai1x1+ai2x2++ainxn=fi , i=2,3,,n. (4) (3) - tenglikni ai1 - ga ko'paytirib (4) - sistemaning i-tenglamasidan ayiramiz, i=2,3,,n . Natijada x1+s12x2++s1jxj + + s1nxn =y1, a22(1)x2++a2j(1)xj++a2n(1)xn=f2(1) , (5) an2(1)x2++anj(1)xj++ann(1)xn=fn(1), tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu yerda aij(1)=aij -c1jai1, fi(1) =fi - y1 ai1, i,j =2, 3,,n . (6) (5)- sistemaning matritsasi ko'rinishga ega. Bunday ko'rinishli matritsani kabi belgilash qabul qilingan. Bu yerda x belgi bilan nol bo'lmagan elementlar belgilangan. (5) - sistemada x1 - nomalum faqat 1-tenglamada bor bo'lib, boshqa tenglamalardan yo'qotilgan. Bundan so'ng a22(1)x2++a2j(1)xj++a2n(1)xn=f2(1) (7) an2(1)x2++anj(1)xl++ann(1)xn=fn(1) sistema bilan ishlaymiz. Shunday qilib Gauss metodining birinchi qadami amalga oshirildi. Agar , bo'lsa, unda (7) - sistemadan xuddi birinchi qadamdagidek x2 - ni yo'qotib, (2) - sistemaga ekvivalent bo'lgan matritsasi ko'rinishli sistemaga kelamiz. Bunda (5) - sistemaning birinchi tenglamasi o'zgarishsiz qoladi. Xuddi shunday x3,x4, , xn o'zgaruvchilarni yo'qotib, (2) - sistemaga ekvivalent bo'lgan x1+s12x2++s1nxn=y1, x2++s2nxn=y2, (8) xn-1+sn-1,nxn=yn-1, xn=yn. sistemaga ega bo'lamiz . Bu sistema matritsasi . (9) bosh diagonalidan pastdagi barcha elementlari noldan iborat. Bunday matritsalarni yuqori uchburchakli matritsa deb aytish qabul qilingan. (8)- sistemani hosil qilish Gauss metodining to'g'ri yo'li deb aytiladi. Gauss metodining teskari yo'li xn,xn-1,, x1 -larni ketma-ket topishdan iborat. (8) - sistema matritsasi uchburchakli bo'lganligi uchun xn, xn-1,x1 nomalumlarni ketma-ket topish mumkin. Haqiqatan ham xn=yn, xn-1=yn-1 - cn-1yn va hokazo. Teskari yo'lning umumiy formulalari: xn=yn. i=n-1,n-2, ,1. (10) kabi ...