Funksional va darajali qatorlar

Funksional va darajali qatorlar Reja: 1. Funksional qatorlar haqida tushunchalar. 2. Darajali qatorlar va ularning xossalari. 3. Teylor va Makloren qatorlari. 4. Funksiyalarni darajali qatorlarga yoyish. 5. Qatorlarning taqribiy hisoblashga tatbiqlari. Tayanch ibora va tushunchalar Funksional qator, yaqinlashish intervali, yaqinlashish radiusi, darajali qator yig'indisi, darajali qatorni hadlab integrallash va differensiallash, Teylor qatori, Makloren qatori, binomial qator, taqribiy hisoblash, yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari, funksiyalarni darajali qatorlarga yoyish. 1. Funksional qatorlar haqida tushunchalar. funksiyalar ketma-ketligi bo'lsin. 1-ta'rif. (1) ifodaga funksional qator deyiladi. (1) da biror son bo'lsa, qo'yidagi sonli qatorni hosil qilamiz (2) (2) sonli qator yaqinlashuvchi bo'lsa, (1) funksional qator nuqtada yaqinlashuvchi deyiladi va nuqtaga yaqinlashish nuqtasi deb ataladi. 1-misol. (3) funksional qator nuqtada yaqinlashuvchidir, chunki sonli qator yaqinlashuvchi. Berilgan (3) funksional qator nuqtada uzoqlashuvchi, chunki . sonli qator uzoqlashuvchi. Funksional qator yaqinlashuvchi bo'lgan nuqtalar to'plamiga, uning yaqinlashish sohasi deyiladi. 2. Darajali qatorlar va ularning xossalari. (4) funksional qatorga darajali qator deyiladi. o'zgarmas sonlar, darajali qatorning koeffitsiyentlari deb ataladi. Darajali qator shunday xossaga egaki, u nuqtada yaqinlashuvchi bo'lsa, tengsizlikni qonoatlantiruvchi hamma lar uchun ham yaqinlashuvchi bo'ladi. Darajali qator uchun shunday son mavjudki, uchun, qator absolyut yaqinlashuvchi uchun qator uzoqlashuvchi, yani oraliqda darajali qator absolyut yaqinlashuvchi, nuqtalarda hosil bo'lgan qator yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo'lishi mumkin. Har ikki nuqtada qator yaqinlashishini alohida tekshirish kerak bo'ladi. intervalga yaqinlashish intervali, ga darajali qatorning yaqinlashish radiusi deyiladi. Yaqinlashish radiusi bo'lishi mumkin bo'lsa, darajali qator faqat nuqtada, bo'lsa, butun sonlar o'qida yaqinlashuvchi bo'ladi. Yaqinlashish intervalini, berilgan qatorning absolyut qiymatidan tuzilgan qator uchun Dalamber va Koshi belgilaridan foydalanib topish mumkin. Darajali qatorning hamma koeffitsiyentlari 0 dan farqli bo'lsa, yaqinlashish radiusini topishda formuladan foydalaniladi. Boshqa hollarda bevosita Dalamber belgisidan foydalanib yaqinlashish intervalini topish mumkin. 2-misol. darajali qator yaqinlashishini tekshiring. yechish: . Qatorning yaqinlashish radiusini topamiz. . Demak, tengsizlikni qanoatlantiruvchi hamma lar uchun qator yaqinlashuvchi. Qator yaqinlashishini intervalning chetki nuqtalarida tekshiramiz: bo'lsin. Bu holda garmonik qator hosil bo'lib, u uzoqlashuvchidir. bo'lsin, bu holda sonli qator hosil bo'lib, u Leybnits belgisi shartlarini qanoatlantirgani uchun yaqinlashuvchi bo'ladi. Shunday qilib, berilgan qatorning yaqinlashish intervali dan iboratdir. 3-misol. darajali qator yaqinlashishini tekshiring. yechish. bo'lganligi uchun . Demak, intervalda qator yaqinlashuvchi. Intervalning chetki nuqtalarida qator yaqinlashishini tekshiramiz. bo'lsin, bunda sonli qator hosil bo'lib, integral belgidan foydalansak uning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi(bajarib ko'ring). bo'lsa, sonli qator hosil bo'lib, u absolyut yaqinlashuvchidir. Shunday qilib, berilgan qatorning yaqinlashish intervali bo'ladi. 3. Teylor va Makloren qatorlari. funksiya nuqtada tartibgacha hosilalarga ega bo'lsa, u holda qo'yidagi Teylor formulasi o'rinlidir: bu yerda bo'lib, ...