Funksiya hosilasi va uning geometrik, mexaniq ma'nosi

Funksiya hosilasi va uning geometrik, mexanik manosi Reja: 1. hosila ta'rifi 2. hosilaning geometrik va mexanik manosi 3. differensiallanuvchi funksiya va uning uzluksizligi. Tayanch iboralar: hosila ta'rifi, hosilaning geometrik va mexanik manosi, differensiallanuvchi funksiya va uning uzluksizligi. u=f(x) funksiya (a,v) oralikda aniqlangan bo'lib, x va x+x shu oralikdagi nuqtalar bulsin. bu holda argumentning x orttirmasiga funksiyaning f=f(x+x)-f(x) orttirmasi mos keladi. T A ' R I F : u=f(x)funksiya f orttirmasining x argument ortirmasiga nisbati x0 bo'lganda limitga ega bulsa, bu limit qiymati funksiyaning x nuqtadagi hosilasi deb ataladi va f(x) yoki u(x) kabi belgilanadi. ta'rifga asosan (1) Shuni takidlab utish kerakki (1) limit chekli chekli son yoki bo'lishi mumkin.Misol sifatida f(x)=x 2 funksiya hosilasini ta'rifiga asosan topamiz: f=f(x+x)-f(x) = (x+x)2 -x2 =2xx +(x)2, Demak (x2)=2x bular ekan. u=f(x)funksiya hosilasining geometrik manosini aniqlash uchun bu funksiyaning grafigida abtsissasi x va x+x , ordinatalari esa f(x) va f(x+x) bo'lgan M va N nuqtalarni olamiz. Bu nuqtalardan utuvchi MN kesishuvchining OX ukining musbat yo'nalishi bilan hosil kilgan burchagini kabi belgilaymiz. Bu holda tegishli chizmani chizib, tg = - natijani olish mumkin. Endi x→0 bulsin. Bu holda N nuqta M nuqtaga yaqinlashib boradi, MN kesishuvchi esa funksiya grafigining M nuqtasiga o'tkazilgan urinmaga yaqinlashib boradi. Bu urinmaning OX uki musbat yo'nalishi bilan hosil kilgan burchagini α deb belgilasak, yuqoririda aytilganlarga ko'ra x→0bo'lganda β→α yoki tg β→tgα munosobat urinli bo'ladi. Demak, shunday qilib ,f ΄(x) hosila qiymati funksiya grafigining M(x, f(x)) nuqtadagi urinmasining k=tgα burchak koeffitsiyentiga teng bular ekan. hosilaning mexanik manosini ko'rsatish uchun x argumentni vaqt momenti, u=f(x) funksiyani esa to'g'ri chiziq buylab harakatlanayotgan moddiy nuqtaning x vaqt momentiga bosib utgan masofasi deb karaymiz. Bu holda f orttirmasi x vaqt ichida moddiy nuqtaning bosib utgan yo'lini, fx nisbat esa uning V o'rtacha tezligi moddiy nuqtaning x vaqt momentidagi V oniy tezligiga yaqinlashib boradi, yani demak f'(x) hosila f(x) funksiyaning x nuqtadagi o'zgarish tezligini ifodalaydi. u=f(x) funksiya x nuqtada chekli f(x) hosilaga ega bulsa, u shu nuqtada differensiallanuvchi deyiladi. Funksiyaning differensiallanuvchanligi va uzluksizligi orasidagi bog'lanish quyidagi teorema orqali ifodalanadi. TYeORYeMA: agarda u=f(x) funksiya x nuqtada differensiallanuvchi bulsa, u shu nuqtada uzluksiz bo'ladi. I s b o t : Funksiya uzluksizligi ta'rifiga asosan, f=0 (2) munosabatni ko'rsatish kifoya. hosila ta'rifini ifodalovchi (1) tenglik va limitni mavjudligi haqidagi oldin ko'rib utilgan aksiomaga asosan f(x)+(x) tenglik yozish mumkin. Bu yerda x0 bo'lganda (x) cheksiz kichik miqdor bo'ladi. bu holda, limit hisoblash qoidalariga asosan f=( f(x)x+(x))= f(x)x+(x)=0. Demak (2) - ...