Funksiyaning differensiali va uning taqribiy hisoblashdagi tadbiqlari

Funksiyaning differensiali va uning taqribiy hisoblashdagi tadbiqlari Reja: 1. Funksiyaning differensiali. 2. Funksiyaning differensialining taqribiy hisoblashga tatbiqi. 3. differensial hisobning asosiy teoremalari Tayanch ibora va tushunchalar Funksiya differensiali, ikkinchi tartibli differensial, differensial yordamida taqribiy hisoblash, cheksiz kichik funksiya, funksiya orttirmasi uchun formula, Ferma teoremasi, Roll teoremasi, Lagranj teoremasi, Chekli orttirmalar formulasi, Teylor va Makloren formulalari, qoldiq had formulasi. 1. Funksiyaning differensiali. funksiya nuqtada differensiallanuvchi, yani hosilaga ega bo'lsa, yani bњlib, bunda cheksiz kichik funksiya bo'ladi. Demak, (1) bњladi. (1) formulaga funksiya orttirmasi uchun formula deyiladi. 1-ta'rif. Funksiya orttirmasining bosh qismiga funksiya differensiali deyiladi va bilan belgilanadi. ta'rifga asosan, (2) (2) formulada bo'lsa, yoki bo'lib, funksiya differetsiali ko'rinishda bo'ladi. Elementar funksiyalarning differensiali jadvalini keltiramiz. 1. ; 2. 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10.; 11. ; 12. 2. Funksiyaning differensialining taqribiy hisoblashga tatbiqi. (1) formuladan taqribiy tenglik kelib chiqadi, yani etarlicha kichik bo'lganda, funksiya orttirmasi uning differensialiga taqriban teng deyish mumkin. Bunda bo'lib, yani yoki (3) (3) formuladan funksiya qiymatini taqribiy hisoblashlarda foydalaniladi. 2-ta'rif. funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali deb funksiya differensialidan olingan differensialga aytiladi va bilan belgilanadi. Xuddi shunday, differensiallar ham aniqlanadi. 1-misol. funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli differensiallarini toping. yechish. Oldin birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarni topamiz: Shunday qilib, va bњladi. 2-misol. funksiyaning, argument 2 dan 2,001 gacha o'zgargandagi orttirmasini taqriban toping. yechish. (3) formuladan foydalanamiz. Funksiya orttirmasi o'rniga uning differensialini olib qancha xatoga yo'l qo'yilganini baholaymiz: buning uchun haqiqiy orttirmani topamiz, Demak, absalyut xato Nisbiy xato yoki . Taqribiy hisoblash xatosi ancha kichik, bu esa yuqoridagi taqribiy tenglikdan taqribiy hisoblashlarda foydalanish mumkinligini ko'rsatadi. 3. differensial hisobning asosiy teoremalari Biror funksiyaning hosilasini bilish funksional bog'lanish haqida xulosa chiqarishga imkoniyat yaratadi. Hosila tushunchasining har xil tatbiqlari, xususan iqtisodga qo'llanilishida sodda lekin muhim bo'lgan teoremalar va formulalar yotadi. Bu teoremalardan ayrimlarini isbotsiz keltiramiz. 1. Ferma teoremasi. (1602-1665y. - atoqli fransuz matematigi). funksiya birorta oraliqda aniqlangan va bu oraliqning ichki nuqtasida eng katta (eng kichik) qiymatga ega bo'lib, hamda bu nuqtada chekli hosila mavjud bo'lsa, tenglik o'rinli bo'lishi zarur. Ferma teoremasi sodda geometrik manoga ega. Teorema shartlari bajarilganda oraliqda shunday nuqta mavjud bo'ladiki, bu nuqtadan funksiya grafigiga o'tkazilgan urinma o'qiga parallel bo'ladi(1-chizma). 1-chizma 2-chizma 2. Roll teoremasi. (Mishel Roll (1652-1719) fransuz matematigi). 1) funksiya kesmada aniqlangan va uzluksiz; 2) aqalli oraliqda chekli hosila mavjud; 3) oraliqning chetki nuqtalarida funksiya teng qiymatlarni qabul qilsa, va orasida shunday nuqta topiladiki, tenglik bajariladi Geometrik nuqtasi nazardan Roll teoremasi ...